Contente

• Passos
• Método 1 de 3: como resolver uma equação cúbica sem um termo constante
• Método 2 de 3: como encontrar raízes inteiras usando multiplicadores
• Método 3 de 3: Como resolver uma equação usando o discriminante

Em uma equação cúbica, o maior expoente é 3, tal equação tem 3 raízes (soluções) e tem a forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Algumas equações cúbicas não são tão fáceis de resolver, mas se você aplicar o método correto (com boa base teórica), você pode encontrar as raízes até mesmo da equação cúbica mais complexa - para isso, use a fórmula para resolver a equação quadrática, encontre o raízes inteiras, ou calcule o discriminante.

Passos

Método 1 de 3: como resolver uma equação cúbica sem um termo constante

1. 1 Descubra se existe um termo livre na equação cúbica d{ displaystyle d}. A equação cúbica tem a forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Para que uma equação seja considerada cúbica, é suficiente que apenas o termo ${ displaystyle x ^ {3}}$ (ou seja, pode não haver nenhum outro membro).
   • Se a equação tiver um termo livre ${ displaystyle d}$, use um método diferente.
   • Se na equação ${ displaystyle a = 0}$, não é cúbico.
2. 2 Retire dos colchetes x{ displaystyle x}. Uma vez que não há termo livre na equação, cada termo na equação inclui a variável ${ displaystyle x}$... Isso significa que um ${ displaystyle x}$ pode ser excluído dos parênteses para simplificar a equação. Assim, a equação será escrita assim: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Por exemplo, dada uma equação cúbica ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Tirar ${ displaystyle x}$ colchetes e obter ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Fatore (o produto de dois binômios) a equação quadrática (se possível). Muitas equações quadráticas do formulário ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ pode ser fatorado. Essa equação vai acabar se tirarmos ${ displaystyle x}$ fora dos colchetes. Em nosso exemplo:
   • Retire dos colchetes ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Fatore a equação quadrática: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Iguale cada caixa a ${ displaystyle 0}$... As raízes desta equação são ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Resolva uma equação quadrática usando uma fórmula especial. Faça isso se a equação quadrática não puder ser fatorada. Para encontrar duas raízes de uma equação, os valores dos coeficientes ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ substituir na fórmula ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Em nosso exemplo, substitua os valores dos coeficientes ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) na fórmula:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Primeira raiz:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Segunda raiz:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Use raízes zero e quadráticas como soluções para a equação cúbica. As equações quadráticas têm duas raízes, enquanto as cúbicas têm três. Você já encontrou duas soluções - essas são as raízes da equação quadrática. Se você colocar "x" fora dos colchetes, a terceira solução seria ${ displaystyle 0}$.
   • Se você tirar "x" dos colchetes, você obterá ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, ou seja, dois fatores: ${ displaystyle x}$ e uma equação quadrática entre colchetes. Se algum desses fatores for ${ displaystyle 0}$, toda a equação também é igual a ${ displaystyle 0}$.
   • Assim, duas raízes de uma equação quadrática são soluções de uma equação cúbica. A terceira solução é ${ displaystyle x = 0}$.

Método 2 de 3: como encontrar raízes inteiras usando multiplicadores

1. 1 Certifique-se de que há um termo livre na equação cúbica d{ displaystyle d}. Se em uma equação da forma ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ há um membro grátis ${ displaystyle d}$ (que não é igual a zero), não funcionará colocar "x" fora dos colchetes. Nesse caso, use o método descrito nesta seção.
   • Por exemplo, dada uma equação cúbica ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Para obter zero no lado direito da equação, adicione ${ displaystyle 6}$ para ambos os lados da equação.
   • A equação vai acabar ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Como ${ displaystyle d = 6}$, o método descrito na primeira seção não pode ser usado.
2. 2 Escreva os fatores do coeficiente uma{ displaystyle a} e um membro grátis d{ displaystyle d}. Ou seja, encontre os fatores do número em ${ displaystyle x ^ {3}}$ e os números antes do sinal de igual. Lembre-se de que os fatores de um número são os números que, quando multiplicados, produzem aquele número.
   • Por exemplo, para obter o número 6, você precisa multiplicar ${ displaystyle 6 vezes 1}$ e ${ displaystyle 2 vezes 3}$... Então, os números 1, 2, 3, 6 são fatores do número 6.
   • Em nossa equação ${ displaystyle a = 2}$ e ${ displaystyle d = 6}$... Multiplicadores 2 está 1 e 2... Multiplicadores 6 são os números 1, 2, 3 e 6.
3. 3 Divida cada fator uma{ displaystyle a} para cada fator d{ displaystyle d}. Como resultado, você obtém muitas frações e vários inteiros; as raízes da equação cúbica serão um dos inteiros ou o valor negativo de um dos inteiros.
   • Em nosso exemplo, divida os fatores ${ displaystyle a}$ (1 e 2) por fatores ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 e 6) Você terá: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ e ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Agora adicione valores negativos das frações e números obtidos a esta lista: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ e ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Todas as raízes da equação cúbica são alguns números desta lista.
4. 4 Insira inteiros na equação cúbica. Se a igualdade for verdadeira, o número substituído é a raiz da equação. Por exemplo, substitua na equação ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, ou seja, não se observa igualdade. Neste caso, conecte o próximo número.
   • Substituto ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Assim, ${ displaystyle -1}$ é toda a raiz da equação.
5. 5 Use o método de divisão de polinômios por Esquema de Hornerpara encontrar as raízes da equação mais rapidamente. Faça isso se você não quiser substituir manualmente os números na equação. No esquema de Horner, os inteiros são divididos pelos valores dos coeficientes da equação ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ e ${ displaystyle d}$... Se os números forem divisíveis uniformemente (ou seja, o resto é ${ displaystyle 0}$), um número inteiro é a raiz da equação.
   • O esquema de Horner merece um artigo separado, mas o seguinte é um exemplo de cálculo de uma das raízes de nossa equação cúbica usando este esquema:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Então o resto é ${ displaystyle 0}$, mas ${ displaystyle -1}$ é uma das raízes da equação.

Método 3 de 3: Como resolver uma equação usando o discriminante

1. 1 Escreva os valores dos coeficientes da equação uma{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} e d{ displaystyle d}. Recomendamos que você anote os valores dos coeficientes indicados com antecedência para não se confundir no futuro.
   • Por exemplo, dada a equação ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Escreva ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ e ${ displaystyle d = -1}$... Lembre-se de que se antes ${ displaystyle x}$ não há número, o coeficiente correspondente ainda existe e é igual a ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Calcule o discriminante zero usando uma fórmula especial. Para resolver uma equação cúbica usando o discriminante, você precisa realizar vários cálculos difíceis, mas se você realizar todas as etapas corretamente, este método se tornará indispensável para resolver as equações cúbicas mais complexas. Primeiro cálculo ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (discriminante zero) é o primeiro valor de que precisamos; para fazer isso, substitua os valores correspondentes na fórmula ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • O discriminante é um número que caracteriza as raízes de um polinômio (por exemplo, o discriminante de uma equação quadrática é calculado pela fórmula ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Em nossa equação:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Calcule o primeiro discriminante usando a fórmula Δ1=2b3−9umabc+27uma2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Primeiro discriminante ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - este é o segundo valor importante; para calculá-lo, insira os valores correspondentes na fórmula especificada.
   • Em nossa equação:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Calcular:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Ou seja, encontre o discriminante da equação cúbica por meio dos valores obtidos ${ displaystyle Delta _ {0}}$ e ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Se o discriminante de uma equação cúbica for positivo, a equação terá três raízes; se o discriminante é zero, a equação tem uma ou duas raízes; se o discriminante for negativo, a equação tem uma raiz.
   • Uma equação cúbica sempre tem pelo menos uma raiz, já que o gráfico dessa equação cruza o eixo X em pelo menos um ponto.
   • Em nossa equação ${ displaystyle Delta _ {0}}$ e ${ displaystyle Delta _ {1}}$ são iguais ${ displaystyle 0}$, para que você possa calcular facilmente ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Portanto, nossa equação tem uma ou duas raízes.

5. 5 Calcular:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } right) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - esta é a última quantidade importante a ser encontrada; isso o ajudará a calcular as raízes da equação. Substitua os valores na fórmula especificada ${ displaystyle Delta _ {1}}$ e ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Em nossa equação:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Encontre três raízes da equação. Faça isso com a fórmula ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, Onde ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, mas n é igual a 1, 2 ou 3... Substitua os valores apropriados nesta fórmula - como resultado, você obterá três raízes da equação.
   • Calcule o valor usando a fórmula em n = 1, 2 ou 3e então verifique a resposta. Se obtiver 0 ao verificar sua resposta, esse valor é a raiz da equação.
   • Em nosso exemplo, substitua 1 em ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ e pegue 0, ou seja 1 é uma das raízes da equação.