Contente

• Dar um passo
• Parte 1 de 3: Noções básicas de análise
• Parte 2 de 3: Compreenda os derivados
• Parte 3 de 3: Compreenda os integrais
• Pontas

Análise (também chamada de cálculo) é um ramo da matemática focado em limites, funções, derivadas, integrais e séries infinitas. Este assunto cobre uma grande parte da matemática e é a base de muitas das fórmulas e equações usadas na física e na mecânica. Provavelmente, você precisará de vários anos de matemática no ensino médio para entender a análise de maneira adequada, mas este artigo o ajudará a aprender a reconhecer os conceitos-chave, bem como a compreender melhor a teoria.

Dar um passo

Parte 1 de 3: Noções básicas de análise

1. Análise é o estudo de como as coisas mudam. Análise é um ramo da matemática que examina números e gráficos, geralmente obtidos de dados do mundo real, e explica como eles mudam. Embora isso possa não parecer muito útil à primeira vista, a análise é um dos ramos da matemática mais comumente usados. Imagine ter as ferramentas que indicam a rapidez com que seu negócio está crescendo a qualquer momento, ou como traçar o curso de uma nave espacial e a rapidez com que seu combustível está se esgotando. A análise é uma ferramenta importante em engenharia, economia, estatística, química e física, e tem contribuído para muitas invenções e descobertas.
2. Funções são relacionamentos entre dois números e são usados ​​para mapear relacionamentos. São regras para a relação entre números e os matemáticos as usam para fazer gráficos. Em uma função, cada entrada tem exatamente um resultado. Por exemplo: em ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Pense no conceito de infinito. O infinito é a repetição constante de um processo. Não é um lugar específico (você não pode ir ao infinito), mas sim o comportamento de um número ou equação, se feito para sempre. Isso é importante para estudar a mudança: você pode querer saber a velocidade com que seu carro está se movendo em um determinado momento, mas essa é a velocidade com que seu carro está se movendo durante o segundo atual? Milissegundo? Nanossegundo? Você pode descobrir porções de tempo infinitamente menores para ser ainda mais preciso, e é aí que entra a análise.
3. Compreenda o conceito de limites. Um limite informa o que acontece quando algo se aproxima do infinito. Pegue o número 1 e divida por 2. Continue dividindo por 2 indefinidamente. 1 torna-se 1/2 e depois 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, etc. Cada vez que o número fica cada vez menor, "mais próximo de" zero. Mas onde isso para? Quantas vezes você tem que dividir 1 por 2 para chegar a zero? Em vez de responder a esta pergunta, na análise você define um limite Nesse caso, o limite é.
   • Os limites são os mais fáceis de visualizar em um gráfico - por exemplo, há pontos que um gráfico quase toca, mas nunca exatamente?
   • Os limites podem ser numéricos, infinitos ou até inexistentes. Por exemplo, com a sequência de adição 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... e isso continua indefinidamente, o número final torna-se infinitamente grande. O limite então se torna infinito.
4. Reveja os conceitos matemáticos essenciais de álgebra, trigonometria e noções básicas de matemática. A análise depende muito da matemática que você aprendeu antes. Estar bem informado sobre todos os tópicos torna muito mais fácil aprender e compreender a análise. Alguns tópicos para revisar são:
   • Álgebra. Você precisa entender os diferentes processos e ser capaz de resolver equações e sistemas de equações com múltiplas variáveis. Compreenda os fundamentos das coleções. Pratique fazer gráficos.
   • Geometria. A geometria é o estudo das formas. Você deve ter conhecimento básico de triângulos, retângulos e círculos e como calcular coisas como perímetro e área. Compreenda ângulos, linhas e coordenadas
   • Trigonometria. A trigonometria é o ramo da matemática que lida com as propriedades dos círculos e triângulos retângulos. Saiba como usar identidades trigonométricas, gráficos, funções e funções trigonométricas inversas.
5. Compre uma calculadora gráfica. A análise não é fácil de entender sem ver o que você está fazendo. As calculadoras gráficas tornam as funções visuais para que você possa entender melhor com quais equações está lidando. Freqüentemente, os limites também são exibidos na tela e as derivadas e funções são calculadas automaticamente.
   • Muitos smartphones e tablets hoje oferecem aplicativos gráficos baratos, mas eficazes, se você não quiser ou não puder comprar uma calculadora gráfica.

Parte 2 de 3: Compreenda os derivados

1. A análise é usada para estudar a "mudança em um momento específico". Saber por que algo muda em um momento exato é o cerne da análise. Por exemplo, a análise fornece não apenas a velocidade de um carro, mas também o quanto essa velocidade muda a qualquer momento. Este é um dos usos mais simples de análise, mas muito importante. Imagine como essas informações são importantes para determinar a velocidade necessária para levar uma espaçonave à lua!
   • Determinar a mudança em um determinado momento tem distinguir. A diferenciação é o primeiro dos dois ramos principais de análise.
2. Use derivados para entender como as coisas mudam em um determinado momento. Um "derivado" é uma palavra bonita para algo que muitas vezes deixa os alunos nervosos. No entanto, o conceito em si não é tão difícil de entender - significa apenas "a rapidez com que algo muda". Os derivados que você encontrará mais na vida cotidiana têm a ver com velocidade. No entanto, você normalmente não a chama de "derivada da velocidade", mas simplesmente de "aceleração".
   • A aceleração é um derivado - diz a você a rapidez com que algo está acelerando ou desacelerando, ou como sua velocidade está mudando.
3. Saiba que a taxa de variação é igual à inclinação entre dois pontos. Esta é uma das descobertas mais importantes da análise. A taxa de variação entre dois pontos é igual à inclinação da linha entre esses dois pontos. Pense em uma linha simples, como a da equação ${ displaystyle y = 3x.}$Saiba que você pode determinar a inclinação das linhas curvas. Determinar a inclinação de uma linha reta é relativamente fácil: o quanto muda ${ displaystyle y}$Se você quiser calcular a mudança com mais precisão, certifique-se de que os pontos estejam mais próximos uns dos outros. Quanto mais próximo você escolher os dois pontos, mais precisa será sua resposta. Suponha que você queira saber o quanto seu carro acelera quando você pressiona o acelerador. Você não quer medir a mudança na velocidade entre sua casa e o supermercado, mas a mudança na velocidade a partir do momento em que você pisa no acelerador. Quanto mais perto sua leitura chegar dessa fração de segundo, mais preciso será o cálculo da mudança.
   • Por exemplo, os cientistas estão investigando a rapidez com que algumas espécies se extinguem para salvá-las. No entanto, mais animais morrem no inverno do que no verão, por isso não é útil estudar a taxa de mudança ao longo do ano - é melhor determinar a taxa de mudança dentro de um período menor, como de 1º de julho a 1º de agosto.
4. Use linhas infinitamente curtas para determinar a "taxa instantânea de mudança" ou encontre a derivada. É aqui que a análise costuma ficar um pouco confusa, mas na verdade isso é o resultado de dois fatos simples. Em primeiro lugar, você sabe que a inclinação de uma linha é igual a quão rápido essa linha muda. Em segundo lugar, você sabe que quanto mais próximos os pontos da linha estiverem uns dos outros, mais precisa se tornará a leitura. Mas como você encontra a taxa de variação em um determinado ponto se a inclinação é a relação entre dois pontos? A resposta: Você escolhe dois pontos que estão infinitamente próximos um do outro.
   • Considere o exemplo em que você continua dividindo 1 por 2, obtendo assim 1/2, 1/4, 1/8, etc. Então, no final, você chega perto de zero e a resposta é "quase zero". Os pontos estão tão próximos uns dos outros que são "quase iguais". Essa é a natureza dos derivados.
5. Aprenda como determinar vários derivados. Existem inúmeras técnicas diferentes para encontrar uma derivada dependendo da equação, mas a maioria delas faz sentido se você memorizou os fundamentos das derivadas acima. Todas as derivadas são uma forma de encontrar a inclinação de uma linha "infinitesimal". Agora que você sabe mais sobre a teoria das derivadas, muito do trabalho consiste em encontrar as respostas.
6. Encontre as equações derivadas para prever a taxa de mudança a qualquer momento. É útil usar derivadas para determinar a taxa de alteração em qualquer momento, mas a beleza da análise é que você pode criar um novo modelo para qualquer função. A derivada de ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Se você achar isso difícil de entender, tente se lembrar de exemplos de derivados da vida real. O exemplo mais simples é baseado na velocidade, que engloba muitos derivados diferentes que encontramos todos os dias. Não esqueça: um derivado é uma medida de quão rápido algo muda. Pense em um experimento simples. Você rola uma bola de gude sobre uma mesa e mede a distância e a velocidade de cada vez. Agora imagine que a bola de gude segue uma linha em um gráfico - você está usando derivadas para medir as mudanças instantâneas a qualquer momento nessa linha.
   • Quão rápido a bola de gude se move? Com que velocidade a posição (ou derivada) da bola de gude em movimento muda? Chamamos essa derivada de "velocidade".
   • Role a bola de gude ao longo de uma inclinação e observe como a velocidade muda. Qual é a taxa de variação, ou derivada, da velocidade da bola de gude? Essa derivada é o que chamamos de "aceleração".
   • Role a bola de gude ao longo de uma trilha ondulada, como uma montanha-russa. Em que medida a bola de gude ganha velocidade quando rola para baixo e em que medida a bola de gude desacelera morro acima? Quão rápido o mármore vai exatamente quando está na metade do caminho até a primeira colina? Esta é a taxa instantânea de mudança, ou a derivada, daquela bola de gude naquele ponto específico.

Parte 3 de 3: Compreenda os integrais

1. Saiba que você pode usar a análise para encontrar áreas e volumes complexos. Com a análise, você pode medir formas complexas que, de outra forma, seriam difíceis de medir. Considere, por exemplo, o problema de você querer saber a quantidade de água que um lago longo e de formato irregular contém - é impossível medir cada litro de água separadamente ou usar uma régua para medir a forma do lago. Com a análise, você pode estudar como as margens do lago estão mudando e, em seguida, usar essa informação para descobrir quanta água ele contém.
   • Confecção de modelos geométricos e estudo de volumes integrar. O cálculo integrado é o segundo ramo importante da análise.
2. Saiba que integração é a área abaixo de um gráfico. A integração é usada para medir o espaço abaixo de uma linha, o que permite determinar a área de formas estranhas ou irregulares. Pegue a equação ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Saiba que você deve selecionar uma área a ser integrada. Você não pode simplesmente integrar uma função inteira. Por exemplo, ${ displaystyle y = x}$Pense em como calcular a área de um retângulo. Suponha que você tenha uma linha plana acima de um gráfico, como ${ displaystyle y = 4.}$Saiba que no cálculo integral muitos pequenos retângulos são somados para encontrar a área de uma área. Quando você aumenta enormemente uma curva, ela parece ser uma linha reta. Você vê isso todos os dias - você não pode perceber a curvatura da Terra porque está muito perto da superfície da Terra. A integração cria um número infinito de pequenos retângulos sob uma curva que são tão pequenos que são basicamente planos, permitindo que você os conte. Todos esses retângulos somados formam a área da área sob uma curva.
   • Suponha que você some muitos pequenos segmentos abaixo do gráfico, e essa é a largura de cada segmento quase é zero.
3. Saiba como ler e escrever integrais corretamente. Os integrais consistem em 4 partes. Uma integral típica se parece com isto:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Saiba mais sobre como encontrar integrais. A integração vem em muitas formas e você precisa aprender muitas fórmulas diferentes para integrar cada função. No entanto, todos eles seguem os princípios delineados acima: integração é a soma de um número infinito de coisas.
   • Integre por substituição.
   • Calcule integrais indefinidos.
   • Integre compartilhando.
4. Saiba que integração é o reverso da diferenciação e vice-versa. Esta é uma regra prática de análise tão importante que recebeu um nome próprio: Teorema Principal do Cálculo Integral.Visto que integração e diferenciação estão intimamente relacionadas, uma combinação das duas pode ser usada para determinar a taxa de mudança, aceleração, velocidade, localização, movimento, etc., independentemente das informações que você possui.
   • Por exemplo, lembre-se de que a derivada da velocidade é a aceleração, então você pode usar a velocidade para encontrar a aceleração. Mas se você apenas conhece a aceleração de algo (como objetos caindo devido à gravidade), então você pode integrar para recuperar a velocidade!
5. Saiba que com a integração você também pode controlar o volume de objetos 3D. Girar uma forma plana é uma maneira de criar sólidos 3D. Imagine uma moeda girando sobre a mesa - observe como a moeda parece ter a forma de uma esfera enquanto gira. Este conceito permite determinar o volume de acordo com um processo conhecido como "volume por rotação".
   • Isso permite que você determine o volume de qualquer sólido, desde que você tenha uma função que o represente. Por exemplo, você pode criar uma função que monitore o fundo de um lago e, em seguida, use-a para determinar o volume do lago ou a quantidade de água que ele contém.

Pontas

• A prática leva à perfeição, então faça os exercícios práticos em seu livro - mesmo aqueles que seu professor não deu - e verifique suas respostas para ajudá-lo a entender melhor os conceitos.
• Se você não conseguir encontrar uma solução, pergunte ao seu professor.