Contente

• Informação preliminar
• Passos
• Parte 1 de 3: o básico
• Parte 2 de 3: Propriedades da transformada de Laplace
• Parte 3 de 3: Encontrando a Transformada de Laplace por Expansão em Série

A transformada de Laplace é uma transformada integral usada para resolver equações diferenciais com coeficientes constantes. Essa transformação é amplamente usada em física e engenharia.

Embora você possa usar as tabelas apropriadas, é útil entender a transformação de Laplace para que você possa fazer isso sozinho, se necessário.

Informação preliminar

• Dada uma função ${ displaystyle f (t)}$definido para ${ displaystyle t geq 0.}$ Então Transformada de Laplace função ${ displaystyle f (t)}$ é a próxima função de cada valor ${ displaystyle s}$, em que o integral converge:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• A transformada de Laplace assume uma função da região t (escala de tempo) para a região s (região de transformação), onde ${ displaystyle F (s)}$ é uma função complexa de uma variável complexa. Ele permite que você mova a função para uma área onde uma solução possa ser encontrada com mais facilidade.
• Obviamente, a transformada de Laplace é um operador linear, portanto, se estivermos lidando com uma soma de termos, cada integral pode ser calculada separadamente.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Lembre-se de que a transformada de Laplace só funciona se a integral convergir. Se a função ${ displaystyle f (t)}$ tem descontinuidades, é preciso ter cuidado e definir corretamente os limites de integração para evitar incertezas.

Passos

Parte 1 de 3: o básico

1. 1 Substitua a função na fórmula de transformação de Laplace. Teoricamente, a transformada de Laplace de uma função é muito fácil de calcular. Por exemplo, considere a função ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, Onde ${ displaystyle a}$ é uma constante complexa com ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Estime a integral usando os métodos disponíveis. Em nosso exemplo, a estimativa é muito simples e você pode fazer cálculos simples. Em casos mais complexos, métodos mais complexos podem ser necessários, por exemplo, integração por partes ou diferenciação sob o sinal integral. Condição de restrição ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ significa que a integral converge, ou seja, seu valor tende a 0 conforme ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {alinhado}}}$
   • Observe que isso nos dá dois tipos de transformada de Laplace, com seno e cosseno, uma vez que de acordo com a fórmula de Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Neste caso, no denominador, obtemos ${ displaystyle s-ia,}$ e resta apenas determinar as partes reais e imaginárias. Você também pode avaliar o resultado diretamente, mas isso demoraria um pouco mais.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Considere a transformada de Laplace de uma função de potência. Primeiro, você precisa definir a transformação da função de potência, uma vez que a propriedade de linearidade permite que você encontre a transformação para de tudo polinômios. Uma função da forma ${ displaystyle t ^ {n},}$ Onde ${ displaystyle n}$ - qualquer número inteiro positivo. Pode ser integrado peça por peça para definir uma regra recursiva.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Este resultado é expresso implicitamente, mas se você substituir vários valores ${ displaystyle n,}$ você pode estabelecer um certo padrão (tente fazer você mesmo), que permite obter o seguinte resultado:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Você também pode definir a transformação de Laplace de potências fracionárias usando a função gama. Por exemplo, desta forma, você pode encontrar a transformação de uma função como ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Embora funções com potências fracionárias devam ter cortes (lembre-se, quaisquer números complexos ${ displaystyle z}$ e ${ displaystyle alpha}$ pode ser escrito como ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, porque o ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), eles podem sempre ser definidos de forma que os cortes fiquem no semiplano esquerdo, evitando assim problemas de analiticidade.

Parte 2 de 3: Propriedades da transformada de Laplace

1. 1 Vamos encontrar a transformada de Laplace da função multiplicada por eumat{ displaystyle e ^ {at}}. Os resultados obtidos na seção anterior nos permitiram descobrir algumas propriedades interessantes da transformada de Laplace. A transformação de Laplace de funções como cosseno, seno e função exponencial parece ser mais simples do que a transformação da função de potência. Multiplicação por ${ displaystyle e ^ {at}}$ na região t corresponde a mudança na região s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Esta propriedade permite que você encontre imediatamente a transformação de funções como ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, sem ter que calcular a integral:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Vamos encontrar a transformada de Laplace da função multiplicada por tn{ displaystyle t ^ {n}}. Primeiro, considere a multiplicação por ${ displaystyle t}$... Por definição, pode-se diferenciar uma função em uma integral e obter um resultado surpreendentemente simples:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {alinhado}}}$
   • Repetindo esta operação, obtemos o resultado final:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Embora o rearranjo dos operadores de integração e diferenciação requeira alguma justificativa adicional, não o apresentaremos aqui, apenas observando que esta operação está correta se o resultado final fizer sentido. Você também pode levar em consideração o fato de que as variáveis ${ displaystyle s}$ e ${ displaystyle t}$ não dependem uns dos outros.
   • Usando esta regra, é fácil encontrar a transformação de funções como ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, sem reintegração por partes:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Encontre a transformada de Laplace da função f(umat){ displaystyle f (at)}. Isso pode ser feito facilmente substituindo a variável por u usando a definição de uma transformação:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {alinhado}}}$
   • Acima, encontramos a transformada de Laplace de funções ${ displaystyle sin em}$ e ${ displaystyle cos at}$ diretamente da função exponencial. Usando esta propriedade, você pode obter o mesmo resultado se encontrar as partes reais e imaginárias ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Encontre a transformada de Laplace da derivada f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Ao contrário dos exemplos anteriores, neste caso precisa integrar peça por peça:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t) ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {alinhado}}}$
   • Uma vez que a segunda derivada ocorre em muitos problemas físicos, encontramos a transformada de Laplace para ela também:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • No caso geral, a transformada de Laplace da derivada de ordem n é definida como segue (isso permite resolver equações diferenciais usando a transformada de Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Parte 3 de 3: Encontrando a Transformada de Laplace por Expansão em Série

1. 1 Vamos encontrar a transformada de Laplace para uma função periódica. A função periódica satisfaz a condição ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ Onde ${ displaystyle T}$ é o período da função, e ${ displaystyle n}$ é um número inteiro positivo. As funções periódicas são amplamente utilizadas em muitas aplicações, incluindo processamento de sinais e engenharia elétrica. Usando transformações simples, obtemos o seguinte resultado:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { alinhado}}}$
   • Como você pode ver, no caso de uma função periódica, é suficiente realizar a transformada de Laplace por um período.
2. 2 Execute a transformação de Laplace para o logaritmo natural. Nesse caso, a integral não pode ser expressa na forma de funções elementares. Usar a função gama e sua expansão em série permite estimar o logaritmo natural e seus graus. A presença da constante de Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ mostra que para estimar essa integral, é necessário usar uma expansão em série.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Considere a transformação de Laplace da função sinc não normalizada. Função ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ amplamente utilizado para processamento de sinal, em equações diferenciais é equivalente à função esférica de Bessel de primeiro tipo e ordem zero ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ A transformada de Laplace desta função também não pode ser calculada por métodos padrão. Nesse caso, realiza-se a transformação dos membros individuais da série, que são funções de poder, de modo que suas transformações convergem necessariamente para um determinado intervalo.
   • Primeiro, escrevemos a expansão da função em uma série de Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Agora usamos a já conhecida transformada de Laplace de uma função de potência. Os fatoriais são cancelados e, como resultado, obtemos a expansão de Taylor para o arco tangente, ou seja, uma série alternada que se assemelha à série de Taylor para o seno, mas sem fatoriais:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {alinhado}}}$