Contente

• Dar um passo
• Método 1 de 3: usando o método de substituição
• Método 2 de 3: usando o método de eliminação
• Método 3 de 3: represente graficamente as equações
• Pontas
• Avisos

Em um "sistema de equações", você deve resolver duas ou mais equações ao mesmo tempo. Quando esses dois contêm variáveis ​​diferentes, como x e y, ou a e b, pode ser difícil à primeira vista ver como resolvê-los. Felizmente, uma vez que você sabe o que fazer, você só precisa de algumas habilidades matemáticas básicas (e às vezes algum conhecimento parcial) para resolver o problema. Se necessário, ou se você for um estudante visual, aprenda a representar graficamente as equações também. Representar graficamente (plotar) um gráfico pode ser útil para "ver o que está acontecendo" ou para verificar seu trabalho, mas também pode ser mais lento do que os outros métodos e não funciona com todos os sistemas de equação.

Dar um passo

Método 1 de 3: usando o método de substituição

1. Mova as variáveis ​​para diferentes lados da equação. Este método de "substituição" começa com a "solução de x" (ou qualquer outra variável) em uma das equações. Por exemplo, temos as seguintes equações: 4x + 2y = 8 e 5x + 3x = 9. Em primeiro lugar, examinamos a primeira comparação. Reorganize subtraindo 2y de cada lado e você terá: 4x = 8-2y.
   • Este método geralmente usa frações em um estágio posterior. Você também pode usar o método de eliminação abaixo se preferir não trabalhar com frações.
2. Divida os dois lados da equação para resolver "x". Depois de ter o termo x (ou qualquer variável que você usar) em um lado da equação, divida os dois lados da equação para isolar a variável. Por exemplo:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Conecte isso de volta à outra equação. Certifique-se de retornar ao Outras comparação, não aquele que você já usou. Nessa equação, você substitui a variável que resolveu, deixando apenas uma variável. Por exemplo:
   • Agora você sabe que: x = 2 - ½y.
   • A segunda equação, que você ainda não mudou, é: 5x + 3x = 9.
   • Na segunda equação, substitua x por "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Resolva para a variável restante. Agora você tem uma equação com apenas uma variável. Use técnicas comuns de álgebra para resolver essa variável. Se as variáveis ​​se cancelarem, pule para a última etapa. Caso contrário, você terminará com uma resposta para uma de suas variáveis:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Se você não entender esta etapa, aprenda como adicionar frações. Isso é frequentemente, mas nem sempre, necessário com este método).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Use a resposta para resolver para a outra variável. Não cometa o erro de terminar o problema na metade. Você terá que inserir novamente a resposta que obteve em uma das equações originais para que possa resolver para a outra variável:
   • Agora você sabe que: y = -2
   • Uma das equações originais é: 4x + 2y = 8. (Ambas as equações podem ser usadas para esta etapa).
   • Conecte -2 em vez de y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Saiba o que fazer se ambas as variáveis ​​se cancelarem. Quando você x = 3y + 2 ou obter uma resposta semelhante na outra equação, você está tentando obter uma equação com apenas uma variável. Às vezes, você acaba com uma equação em vez disso sem variáveis. Verifique seu trabalho e certifique-se de substituir a primeira equação (reorganizada) na segunda equação, e não a primeira equação. Se você tiver certeza de que não cometeu nenhum erro, obterá um dos seguintes resultados:
   • Se você terminar com uma equação sem variáveis ​​e que não é verdadeira (por exemplo, 3 = 5), então você tem o problema nenhuma solução. (Se você representou graficamente as equações, verá que elas são paralelas e nunca se cruzam).
   • Se você acabar com uma equação sem variáveis, mas aqueles Nós vamos é verdadeiro (por exemplo, 3 = 3), então ele tem o problema um número infinito de soluções. As duas equações são exatamente iguais. (Se você representar graficamente as duas equações, verá que elas se sobrepõem exatamente).

Método 2 de 3: usando o método de eliminação

1. Determina a variável a ser eliminada. Às vezes, as equações "eliminam" umas às outras em uma variável assim que você as soma. Por exemplo, quando você faz as equações 3x + 2y = 11 e 5x - 2y = 13 combina, o "+ 2y" e "-2y" se cancelarão mutuamente, com todos os "ys são eliminados da equação. Observe as equações do seu problema para descobrir se alguma das variáveis ​​será eliminada dessa maneira. Se nenhuma das variáveis ​​for eliminada, leia a próxima etapa para obter conselhos.
2. Multiplique uma equação para cancelar uma variável. (Pule esta etapa se as variáveis ​​já se eliminaram). Se nenhuma das variáveis ​​nas equações se cancelar por si mesma, você terá que alterar uma das equações para que isso aconteça. Isso é mais fácil de entender com um exemplo:
   • Suponha que você tenha o sistema de equações 3x - y = 3 e -x + 2y = 4.
   • Vamos mudar a primeira equação para que a variável seja y é eliminado. (Você também pode fazer isso por X fazer e obter a mesma resposta).
   • O - y " da primeira equação deve ser eliminado com o + 2a Na segunda equação. Podemos fazer isso por - y multiplique por 2.
   • Multiplicamos ambos os lados da primeira equação por 2, da seguinte maneira: 2 (3x - y) = 2 (3), e assim 6x - 2y = 6. Agora vai - 2a cair contra o + 2a na segunda equação.
3. Combine as duas equações. Para poder combinar duas equações, some os lados esquerdo e direito. Se você escreveu a equação corretamente, uma das variáveis ​​deve se cancelar em relação à outra. Aqui está um exemplo usando as mesmas equações da última etapa:
   • Suas equações são: 6x - 2y = 6 e -x + 2y = 4.
   • Combine os lados esquerdos: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Combine os lados direitos: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Resolva para a última variável. Simplifique a equação combinada e use a álgebra básica para resolver a última variável. Se não houver variáveis ​​restantes após a simplificação, continue para a última etapa desta seção. Caso contrário, você deve terminar com uma resposta simples para uma de suas variáveis. Por exemplo:
   • Você tem: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Agrupe as variáveis X e y um com o outro: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Simplificar: 5x = 10
   • Resolva para x: (5x) / 5 = 10/5, para que x = 2.
5. Resolva para as outras variáveis. Você encontrou uma variável, mas ainda não terminou. Substitua sua resposta em uma das equações originais para que você possa resolver para a outra variável. Por exemplo:
   • Você sabe disso x = 2, e aquela de suas equações originais 3x - y = 3 é.
   • Conecte 2 em vez de x: 3 (2) - y = 3.
   • Resolva y na equação: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, tão 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Saiba o que fazer quando ambas as variáveis ​​se cancelam. Às vezes, a combinação de duas equações resulta em uma equação que não tem significado ou não ajuda a resolver o problema. Verifique seu trabalho desde o início, mas se você não cometeu um erro, anote uma das seguintes respostas:
   • Se a sua equação combinada não tem variáveis ​​e não é verdadeira (como 2 = 7), então há nenhuma solução o que vale para ambas as equações. (Se você representar graficamente as duas equações, verá que elas são paralelas e nunca se cruzam).
   • Se sua equação combinada não tiver variáveis ​​e for verdadeira (como 0 = 0), então há um número infinito de soluções. As duas equações são realmente idênticas. (Se você colocá-los em um gráfico, verá que eles se sobrepõem completamente).

Método 3 de 3: represente graficamente as equações

1. Use este método apenas quando especificado. A menos que você esteja usando um computador ou uma calculadora gráfica, muitos sistemas de equações só podem ser resolvidos de forma aproximada usando este método. Seu professor ou livro de matemática pode pedir que você use este método, então você provavelmente está familiarizado com equações gráficas, como linhas. Você também pode usar este método para verificar se suas respostas de qualquer um dos outros métodos estão corretas.
   • A ideia básica é que você crie um gráfico de ambas as equações e determine o ponto onde elas se cruzam. Os valores xey neste ponto fornecem o valor de xeo valor de y no sistema de equações.
2. Resolva ambas as equações para y. Mantenha as duas equações separadas e use a álgebra para converter cada equação para a forma "y = __x + __". Por exemplo:
   • A primeira equação é: 2x + y = 5. Altere para: y = -2x + 5.
   • A segunda equação é: -3x + 6y = 0. Mude para 6y = 3x + 0, e simplificar para y = ½x + 0.
   • Ambas as equações são idênticas, então toda a linha se torna um "ponto de interseção". Escreva: soluções infinitas.
3. Desenhe um sistema de coordenadas. Desenhe um "eixo y" vertical e um "eixo x" horizontal em uma folha de papel milimetrado. Comece no ponto onde as linhas se cruzam e identifique os números 1, 2, 3, 4, etc. acima do eixo y e novamente à direita ao longo do eixo x. Identifique os números -1, -2, etc. ao longo do eixo y para baixo e à esquerda ao longo do eixo x.
   • Se você não tiver papel quadriculado, use uma régua para garantir que os números estejam espaçados uniformemente.
   • Se estiver usando números grandes ou casas decimais, pode ser necessário dimensionar o gráfico. (Por exemplo 10, 20, 30 ou 0,1, 0,2, 0,3 em vez de 1, 2, 3).
4. Desenhe a interseção y para cada linha. Depois de ter uma equação no formulário y = __x + __ você pode começar a representá-lo definindo um ponto onde a linha intercepta o eixo y. Sempre com um valor y, igual ao último número nesta equação.
   • Nos exemplos mencionados anteriormente, uma linha (y = -2x + 5) no eixo y 5. A outra linha (y = ½x + 0) passa pelo ponto zero 0. (Estes são os pontos (0,5) e (0,0) no gráfico).
   • Indique cada uma das linhas com uma cor diferente, se possível.
5. Use a inclinação para continuar desenhando as linhas. Na forma y = __x + __, é o número para x th inclinação fora da linha. Cada vez que x é aumentado em um, o valor de y aumentará com o valor da inclinação. Use esta informação para encontrar o ponto no gráfico para cada linha quando x = 1. (como alternativa, substitua x = 1 para cada equação e resolva para y).
   • Em nosso exemplo, a linha tem y = -2x + 5 uma inclinação de -2. Em x = 1, a linha 2 desce baixa do ponto x = 0. Desenhe o segmento de reta entre (0,5) e (1,3).
   • A regra y = ½x + 0tem uma inclinação de ½. Em x = 1, a linha vai ½ pra cima do ponto x = 0. Desenhe o segmento de reta entre (0,0) e (1, ½).
   • Quando as linhas têm a mesma inclinação as linhas nunca se cruzarão, então não há solução para o sistema de equações. Escreva: nenhuma solução.
6. Continue plotando as linhas até que se cruzem. Pare e olhe seu gráfico. Se as linhas já se cruzaram, passe para a próxima etapa. Caso contrário, você toma uma decisão com base no que as linhas fazem:
   • À medida que as linhas se movem uma em direção à outra, você continua desenhando pontos nessa direção.
   • Se as linhas estão se afastando umas das outras, volte e desenhe pontos na outra direção, começando em x = -1.
   • Se as linhas não estiverem próximas umas das outras, vá em frente e trace pontos mais distantes, como x = 10.
7. Encontre a resposta na interseção das linhas. Depois que as duas linhas se cruzam, os valores xey naquele ponto são a solução para o problema. Se você tiver sorte, a resposta será um número inteiro. Por exemplo, em nossos exemplos, as duas linhas se cruzam (2,1) então é sua resposta x = 2 ey = 1. Em alguns sistemas de equação, as linhas se cruzarão em um valor entre dois inteiros e, a menos que seu gráfico seja extremamente preciso, será difícil dizer onde ele está. Se for esse o caso, você pode dar uma resposta como: "x está entre 1 e 2". Você também pode usar o método de substituição ou o método de eliminação para encontrar a resposta exata.

Pontas

• Você pode verificar seu trabalho inserindo as respostas nas equações originais. Se as equações forem verdadeiras (por exemplo, 3 = 3), sua resposta está correta.
• No método de eliminação, às vezes você precisa multiplicar uma equação por um número negativo para eliminar uma variável.

Avisos

• Esses métodos não podem ser usados ​​se você estiver lidando com um número de potência, como x. Para aprender mais sobre equações desse tipo, você precisará de um guia para fatorar a quadratura com duas variáveis.