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• Dar um passo

Uma equação trigonométrica é uma equação com uma ou mais funções trigonométricas da curva trigonométrica variável x. Resolver para x significa encontrar os valores das curvas trigonométricas cujas funções trigonométricas fazem com que a equação trigonométrica seja verdadeira.

• Respostas, ou valores, das curvas de solução são expressos em graus ou radianos. Exemplos:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 graus; x = 37,12 graus; x = 178,37 graus

• Nota: No círculo unitário, as funções trigonométricas de qualquer curva são iguais às funções trigonométricas do ângulo correspondente. O círculo unitário define todas as funções trigonométricas da curva variável x. Também é usado como prova na resolução de equações e desigualdades trigonométricas básicas.
• Exemplos de equações trigonométricas:
  • sen x + sen 2x = 1/2; tan x + berço x = 1,732;
  • cos 3x + sen 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. O círculo unitário.
   • Este é um círculo com Raio = 1, onde O é a origem. O círculo unitário define 4 funções trigonométricas principais da curva variável x, que a circunda no sentido anti-horário.
   • Quando a curva com valor x varia no círculo unitário, então se mantém:
   • O eixo horizontal OAx define a função trigonométrica f (x) = cos x.
   • O eixo vertical OBy define a função trigonométrica f (x) = sin x.
   • O eixo vertical AT define a função trigonométrica f (x) = tan x.
   • O eixo horizontal BU define a função trigonométrica f (x) = cot x.

• O círculo unitário também é usado para resolver equações trigonométricas básicas e desigualdades trigonométricas padrão, considerando as várias posições da curva x no círculo.

Dar um passo

1. Compreenda o método de solução.
   • Para resolver uma equação trigonométrica, você a converte em uma ou mais equações trigonométricas básicas. Resolver equações trigonométricas resulta, em última análise, na resolução de 4 equações trigonométricas básicas.
2. Saiba como resolver equações trigonométricas básicas.
   • Existem 4 equações trigonométricas básicas:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; berço x = a
   • Você pode resolver as equações trigonométricas básicas estudando as várias posições da curva x no círculo trigonométrico e usando uma tabela de conversão trigonométrica (ou calculadora). Para compreender totalmente como resolver essas e outras equações trigonométricas básicas semelhantes, leia o seguinte livro: "Trigonometria: Resolvendo equações trigonométricas e desigualdades" (Amazon E-book 2010).
   • Exemplo 1. Resolva para sin x = 0,866. A tabela de conversão (ou calculadora) fornece a resposta: x = Pi / 3. O círculo trigonométrico fornece outra curva (2Pi / 3) com o mesmo valor para o seno (0,866). O círculo trigonométrico também fornece uma infinidade de respostas chamadas respostas estendidas.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi e x2 = 2Pi / 3. (Respostas dentro de um período (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi e x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Respostas detalhadas).
   • Exemplo 2. Resolva: cos x = -1/2. Calculadoras fornecem x = 2 Pi / 3. O círculo trigonométrico também fornece x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi e x2 = - 2Pi / 3. (Respostas para o período (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi e x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Respostas estendidas)
   • Exemplo 3. Resolva: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Responder)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Resposta estendida)
   • Exemplo 4. Resolva: cot 2x = 1,732. Calculadoras e o círculo trigonométrico fornecem:
   • x = Pi / 12; (Responder)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Respostas estendidas)
3. Aprenda as transformações usadas na resolução de equações trigonométricas.
   • Para converter uma dada equação trigonométrica em equações trigonométricas padrão, use conversões algébricas padrão (fatoração, fator comum, polinômios ...), definições e propriedades de funções trigonométricas e identidades trigonométricas. São cerca de 31, 14 das quais são identidades trigonométricas, de 19 a 31, também chamadas de identidades de transformação, porque são utilizadas na conversão de equações trigonométricas. Veja o livro acima.
   • Exemplo 5: A equação trigonométrica: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pode ser convertida em um produto de equações trigonométricas básicas usando identidades trigonométricas: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. As equações trigonométricas básicas a serem resolvidas são: cos x = 0; sen (3x / 2) = 0; e cos (x / 2) = 0.
4. Encontre as curvas para as quais as funções trigonométricas são conhecidas.
   • Antes de aprender a resolver equações trigonométricas, você precisa saber como encontrar rapidamente as curvas para as quais as funções trigonométricas são conhecidas. Os valores de conversão de curvas (ou ângulos) podem ser determinados com tabelas trigonométricas ou a calculadora.
   • Exemplo: Resolva para cos x = 0,732. A calculadora fornece a solução x = 42,95 graus. O círculo unitário fornece outras curvas com o mesmo valor para o cosseno.
5. Desenhe o arco da resposta no círculo unitário.
   • Você pode criar um gráfico para ilustrar a solução no círculo unitário. Os pontos finais dessas curvas são polígonos regulares no círculo trigonométrico. Alguns exemplos:
   • Os pontos finais da curva x = Pi / 3 + k. Pi / 2 é um quadrado no círculo unitário.
   • As curvas de x = Pi / 4 + k.Pi / 3 são representadas pelas coordenadas de um hexágono no círculo unitário.
6. Aprenda a resolver equações trigonométricas.
   • Se a equação trigonométrica fornecida contém apenas uma função trigonométrica, resolva-a como uma equação trigonométrica padrão. Se a equação fornecida contém duas ou mais funções trigonométricas, existem 2 métodos de solução, dependendo das opções para converter a equação.
     • A. Método 1.
   • Converta a equação trigonométrica em um produto da forma: f (x) .g (x) = 0 ou f (x) .g (x) .h (x) = 0, onde f (x), g (x) e h (x) são equações trigonométricas básicas.
   • Exemplo 6. Resolva: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solução. Substitua sin 2x na equação usando a identidade: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Em seguida, resolva 2 funções trigonométricas padrão: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
   • Exemplo 7. Resolva: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solução: converta em um produto, usando as identidades trigonométricas: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Agora resolva as 2 equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
   • Exemplo 8. Resolva: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2 Pi)
   • Solução: converta isso em um produto, usando as identidades trigonométricas: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Agora resolva as 2 equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0.
     • B. Abordagem 2.
   • Converte a equação trigonométrica em uma equação trigonométrica com apenas uma função trigonométrica única como variável. Existem algumas dicas sobre como escolher uma variável adequada. Variáveis ​​comuns são: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t e tan (x / 2) = t.
   • Exemplo 9. Resolva: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Solução. Na equação, substitua (cos ^ 2x) por (1 - sin ^ 2x) e simplifique a equação:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Agora use sin x = t. A equação se torna: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação quadrática com 2 raízes: t1 = -1 e t2 = 9/5. Podemos rejeitar o segundo t2, porque> 1. Agora resolva para: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Exemplo 10. Resolva: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Solução. Use tan x = t. Converta a equação fornecida em uma equação com t como uma variável: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Resolva para t a partir deste produto, então resolva a equação trigonométrica padrão tan x = t para x.
7. Resolva equações trigonométricas especiais.
   • Existem algumas equações trigonométricas especiais que requerem algumas conversões específicas. Exemplos:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Aprenda as propriedades periódicas das funções trigonométricas.
   • Todas as funções trigonométricas são periódicas, o que significa que retornam ao mesmo valor após uma rotação durante um período. Exemplos:
     • A função f (x) = sin x tem 2Pi como período.
     • A função f (x) = tan x tem Pi como um período.
     • A função f (x) = sin 2x tem Pi como um período.
     • A função f (x) = cos (x / 2) tem 4Pi como período.
   • Se o período for especificado nos exercícios / teste, basta encontrar a (s) curva (s) x dentro desse período.
   • NOTA: Resolver equações trigonométricas é complicado e geralmente leva a erros e equívocos. Portanto, as respostas devem ser verificadas com cuidado. Depois de resolver, você pode verificar as respostas usando uma calculadora gráfica, para uma representação direta da equação trigonométrica fornecida R (x) = 0. As respostas (como raiz quadrada) são fornecidas em casas decimais. Por exemplo, Pi tem um valor de 3,14