Contente

• Passos
• Parte 1 de 4: Como escrever uma equação
• Parte 2 de 4: Como escrever o algoritmo de Euclides
• Parte 3 de 4: Como encontrar uma solução usando o algoritmo de Euclides
• Parte 4 de 4: Encontre infinitas outras soluções

Para resolver uma equação diofantina linear, você precisa encontrar os valores das variáveis ​​"x" e "y", que são inteiros. Uma solução inteira é mais complexa do que o normal e requer um conjunto específico de ações. Primeiro, você precisa calcular o máximo divisor comum (GCD) dos coeficientes e, em seguida, encontrar uma solução. Depois de encontrar uma solução inteira para uma equação linear, você pode usar um padrão simples para encontrar um número infinito de outras soluções.

Passos

Parte 1 de 4: Como escrever uma equação

1. 1 Escreva a equação no formulário padrão. Uma equação linear é uma equação em que os expoentes das variáveis ​​não excedem 1. Para resolver tal equação linear, primeiro escreva-a na forma padrão. A forma padrão de uma equação linear é assim: ${ displaystyle Ax + By = C}$, Onde ${ displaystyle A, B}$ e ${ displaystyle C}$ - números inteiros.
   • Se a equação for dada em uma forma diferente, traga-a para a forma padrão usando operações algébricas básicas. Por exemplo, dada a equação ${ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... Forneça termos semelhantes e escreva a equação assim: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Simplifique a equação (se possível). Quando você escreve a equação na forma padrão, olhe para os coeficientes ${ displaystyle A, B}$ e ${ displaystyle C}$... Se essas probabilidades tiverem um GCD, divida as três probabilidades por ele. A solução para tal equação simplificada também será a solução para a equação original.
   • Por exemplo, se todos os três coeficientes forem pares, divida-os por pelo menos 2. Por exemplo:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (todos os membros são divisíveis por 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (agora todos os membros são divisíveis por 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (esta equação não pode mais ser simplificada)
3. 3 Verifique se a equação pode ser resolvida. Em alguns casos, você pode afirmar imediatamente que a equação não tem soluções. Se o coeficiente "C" não for divisível pelo GCD dos coeficientes "A" e "B", a equação não tem solução.
   • Por exemplo, se ambos os coeficientes ${ displaystyle A}$ e ${ displaystyle B}$ são pares, então o coeficiente ${ displaystyle C}$ deve ser igual. Mas se ${ displaystyle C}$ estranho, então não há solução.
     • A equação ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ sem soluções inteiras.
     • A equação ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ não há soluções inteiras, pois o lado esquerdo da equação é divisível por 5 e o lado direito não.

Parte 2 de 4: Como escrever o algoritmo de Euclides

1. 1 Compreenda o algoritmo de Euclides. É uma série de divisões repetidas em que o resto anterior é usado como o próximo divisor. O último divisor que divide os números integralmente é o máximo divisor comum (GCD) dos dois números.
   • Por exemplo, vamos encontrar o GCD dos números 272 e 36 usando o algoritmo de Euclides:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Divida o número maior (272) pelo menor (36) e preste atenção ao restante (20);
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - divida o divisor anterior (36) pelo resto anterior (20). Observe o novo resíduo (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - divida o divisor anterior (20) pelo resto anterior (16). Observe o novo resíduo (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Divida o divisor anterior (16) pelo resto anterior (4). Como o resto é 0, podemos dizer que 4 é o GCD dos dois números originais 272 e 36.
2. 2 Aplique o algoritmo de Euclides aos coeficientes "A" e "B". Ao escrever a equação linear na forma padrão, determine os coeficientes "A" e "B" e, em seguida, aplique o algoritmo de Euclides a eles para encontrar o GCD. Por exemplo, dada uma equação linear ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Aqui está o algoritmo de Euclides para os coeficientes A = 87 e B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Encontre o maior fator comum (GCD). Como o último divisor era 1, GCD 87 e 64 são 1. Portanto, 87 e 64 são números primos entre si.
4. 4 Analise o resultado. Quando você encontra os coeficientes mdc ${ displaystyle A}$ e ${ displaystyle B}$, compare-o com o coeficiente ${ displaystyle C}$ a equação original. Se ${ displaystyle C}$ divisível por gcd ${ displaystyle A}$ e ${ displaystyle B}$, a equação tem uma solução inteira; caso contrário, a equação não tem soluções.
   • Por exemplo, a equação ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ pode ser resolvido porque 3 é divisível por 1 (mdc = 1).
   • Por exemplo, suponha GCD = 5. 3 não é divisível por 5, portanto, essa equação não tem soluções inteiras.
   • Conforme mostrado abaixo, se uma equação tiver uma solução inteira, ela também terá um número infinito de outras soluções inteiras.

Parte 3 de 4: Como encontrar uma solução usando o algoritmo de Euclides

1. 1 Numere as etapas para calcular o GCD. Para encontrar a solução para uma equação linear, você precisa usar o algoritmo euclidiano como base para o processo de substituição e simplificação.
   • Comece numerando as etapas para calcular o GCD. O processo de cálculo é assim:
     • ${ displaystyle { text {Etapa 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Etapa 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Preste atenção na última etapa, onde há um resto. Reescreva a equação desta etapa para isolar o restante.
   • Em nosso exemplo, a última etapa com o resto é a etapa 6. O resto é 1. Reescreva a equação na etapa 6 da seguinte maneira:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Isole o restante da etapa anterior. Este processo é um "mover para cima" passo a passo. Cada vez, você isolará o restante na equação da etapa anterior.
   • Isole o restante da equação na Etapa 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ ou ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Substitua e simplifique. Observe que a equação da Etapa 6 contém o número 2 e, na equação da Etapa 5, o número 2 está isolado. Portanto, em vez de "2" na equação na etapa 6, substitua a expressão na etapa 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (equação da etapa 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (em vez de 2, uma expressão foi substituída)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (colchetes abertos)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (simplificado)
5. 5 Repita o processo de substituição e simplificação. Repita o processo descrito, movendo-se pelo algoritmo euclidiano na ordem inversa. Cada vez, você irá reescrever a equação da etapa anterior e conectá-la à última equação obtida.
   • A última etapa que examinamos foi a etapa 5. Portanto, vá para a etapa 4 e isole o restante da equação para essa etapa:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Substitua esta expressão por "3" na última equação:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Continue com o processo de substituição e simplificação. Este processo será repetido até chegar à etapa inicial do algoritmo euclidiano. O objetivo do processo é escrever a equação com os coeficientes 87 e 64 da equação original a serem resolvidos. Em nosso exemplo:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (substituiu a expressão da etapa 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (substituiu a expressão da etapa 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (substituiu a expressão da etapa 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Reescreva a equação resultante de acordo com os coeficientes originais. Quando você retornar à primeira etapa do algoritmo euclidiano, verá que a equação resultante contém dois coeficientes da equação original. Reescreva a equação de forma que a ordem de seus termos corresponda aos coeficientes da equação original.
   • Em nosso exemplo, a equação original ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... Portanto, reescreva a equação resultante para que os coeficientes sejam alinhados.Preste atenção especial ao coeficiente "64". Na equação original, esse coeficiente é negativo, e no algoritmo euclidiano, é positivo. Portanto, o fator 34 deve ser tornado negativo. A equação final será escrita assim:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Aplique o multiplicador apropriado para encontrar uma solução. Observe que em nosso exemplo, GCD = 1, então a equação final é 1. Mas a equação original (87x-64y) é 3. Portanto, todos os termos na equação final devem ser multiplicados por 3 para obter a solução:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Escreva a solução inteira para a equação. Os números que são multiplicados pelos coeficientes da equação original são as soluções para essa equação.
   • Em nosso exemplo, escreva a solução como um par de coordenadas: ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.

Parte 4 de 4: Encontre infinitas outras soluções

1. 1 Entenda que há um número infinito de soluções. Se uma equação linear tem uma solução inteira, ela deve ter um número infinito de soluções inteiras. Aqui está uma prova rápida (na forma algébrica):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (se você adicionar "B" a "x" e subtrair "A" de "y", o valor da equação original não mudará)
2. 2 Registre os valores originais de xey. O modelo para calcular as próximas soluções (infinitas) começa com a única solução que você já encontrou.
   • Em nosso exemplo, a solução é um par de coordenadas ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 Adicione o fator "B" ao valor "x". Faça isso para encontrar o novo valor de x.
   • Em nosso exemplo, x = -75 e B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • Assim, o novo valor "x": x = -139.
4. 4 Subtraia o fator "A" do valor "y". Para que o valor da equação original não mude, ao adicionar um número a "x", é necessário subtrair outro número de "y".
   • Em nosso exemplo, y = -102 e A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Portanto, o novo valor para "y": y = -189.
   • O novo par de coordenadas será escrito assim: ${ displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 Verifique a solução. Para verificar se o novo par de coordenadas é uma solução para a equação original, insira os valores na equação.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • Desde que a igualdade seja atendida, a decisão é correta.
6. 6 Escreva as expressões para encontrar muitas soluções. Os valores "x" serão iguais à solução original mais qualquer múltiplo do fator "B". Isso pode ser escrito como a seguinte expressão:
   • x (k) = x + k (B), onde “x (k)” é o conjunto de valores “x” e “x” é o valor original (primeiro) de “x” que você encontrou.
     • Em nosso exemplo:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), onde y (k) é o conjunto de valores de y ey é o valor de y original (primeiro) que você encontrou.
     • Em nosso exemplo:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$