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Uma equação trigonométrica contém uma ou mais funções trigonométricas da variável "x" (ou qualquer outra variável). Resolver uma equação trigonométrica é encontrar o valor "x" que satisfaça a (s) função (ões) e a equação como um todo.

• Soluções para equações trigonométricas são expressas em graus ou radianos. Exemplos:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 graus; x = 37,12 graus; x = 178,37 graus.

• Nota: os valores das funções trigonométricas dos ângulos, expressos em radianos, e dos ângulos, expressos em graus, são iguais. Um círculo trigonométrico com raio igual a um é usado para descrever funções trigonométricas, bem como para verificar a correção da solução das equações trigonométricas básicas e desigualdades.
• Exemplos de equações trigonométricas:
  • sen x + sen 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sen 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Um círculo trigonométrico com raio de um (círculo unitário).
   • É um círculo com raio igual a um e centro no ponto O. O círculo unitário descreve 4 funções trigonométricas básicas da variável "x", onde "x" é o ângulo medido na direção positiva do eixo X no sentido anti-horário.
   • Se "x" for algum ângulo no círculo unitário, então:
   • O eixo horizontal OAx define a função F (x) = cos x.
   • O eixo vertical OBy define a função F (x) = sin x.
   • O eixo vertical AT define a função F (x) = tan x.
   • O eixo horizontal BU define a função F (x) = ctg x.

• O círculo unitário também é usado para resolver equações trigonométricas básicas e desigualdades (diferentes posições de "x" são consideradas nele).

Passos

1. 1 O conceito de resolução de equações trigonométricas.
   • Para resolver uma equação trigonométrica, converta-a em uma ou mais equações trigonométricas básicas. Resolver uma equação trigonométrica, em última análise, se resume a resolver quatro equações trigonométricas básicas.
2. 2 Resolução de equações trigonométricas básicas.
   • Existem 4 tipos de equações trigonométricas básicas:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Resolver equações trigonométricas básicas envolve olhar para as diferentes posições x no círculo unitário e usar uma tabela de conversão (ou calculadora).
   • Exemplo 1.sin x = 0,866. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora), você obtém a resposta: x = π / 3. O círculo unitário dá outra resposta: 2π / 3. Lembre-se: todas as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, seus valores se repetem. Por exemplo, a periodicidade de sin x e cos x é 2πn, e a periodicidade de tg x e ​​ctg x é πn. Portanto, a resposta é escrita da seguinte forma:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Exemplo 2.cos x = -1/2. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora), você obtém a resposta: x = 2π / 3. O círculo unitário dá outra resposta: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Exemplo 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Resposta: x = π / 4 + πn.
   • Exemplo 4. ctg 2x = 1,732.
   • Resposta: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformações usadas para resolver equações trigonométricas.
   • Para transformar equações trigonométricas, são utilizadas transformações algébricas (fatoração, redução de termos homogêneos, etc.) e identidades trigonométricas.
   • Exemplo 5. Usando identidades trigonométricas, a equação sin x + sin 2x + sin 3x = 0 é transformada na equação 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Assim, você precisa resolva as seguintes equações trigonométricas básicas: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Encontrar ângulos a partir de valores conhecidos de funções.
   • Antes de aprender métodos para resolver equações trigonométricas, você precisa aprender a encontrar ângulos a partir de valores conhecidos de funções. Isso pode ser feito usando uma tabela de conversão ou calculadora.
   • Exemplo: cos x = 0,732. A calculadora dará a resposta x = 42,95 graus. O círculo unitário fornecerá ângulos adicionais, cujo cosseno também é 0,732.
5. 5 Coloque a solução de lado no círculo unitário.
   • Você pode adiar as soluções para a equação trigonométrica no círculo unitário. As soluções da equação trigonométrica no círculo unitário são os vértices de um polígono regular.
   • Exemplo: As soluções x = π / 3 + πn / 2 no círculo unitário são os vértices de um quadrado.
   • Exemplo: As soluções x = π / 4 + πn / 3 no círculo unitário representam os vértices de um hexágono regular.
6. 6 Métodos para resolver equações trigonométricas.
   • Se uma dada equação trigonométrica contém apenas uma função trigonométrica, resolva essa equação como a equação trigonométrica básica.Se uma dada equação inclui duas ou mais funções trigonométricas, então existem 2 métodos para resolver tal equação (dependendo da possibilidade de sua transformação).
     • Método 1.
   • Converta esta equação em uma equação da forma: f (x) * g (x) * h (x) = 0, onde f (x), g (x), h (x) são as equações trigonométricas básicas.
     
     
   • Exemplo 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Solução. Usando a fórmula de ângulo duplo sin 2x = 2 * sin x * cos x, substitua sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos x = 0 e (sin x + 1) = 0.
   • Exemplo 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Solução: Usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
   • Exemplo 8.sin x - sen 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Solução: usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Agora resolva as duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2sin x + 1) = 0
     • Método 2.
   • Converta a equação trigonométrica fornecida em uma equação contendo apenas uma função trigonométrica. Em seguida, substitua esta função trigonométrica por alguma desconhecida, por exemplo, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Exemplo 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Solução. Nesta equação, substitua (cos ^ 2 x) por (1 - sin ^ 2 x) (por identidade). A equação transformada é:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Substitua sen x por t. A equação agora se parece com isto: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação quadrática com duas raízes: t1 = -1 e t2 = 9/5. A segunda raiz t2 não satisfaz a faixa de valores da função (-1 sen x 1). Agora decida: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Exemplo 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Solução. Substitua tg x por t. Reescreva a equação original da seguinte maneira: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Agora encontre t e, em seguida, encontre x para t = tg x.
7. 7 Equações trigonométricas especiais.
   • Existem várias equações trigonométricas especiais que requerem transformações específicas. Exemplos:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicidade das funções trigonométricas.
   • Conforme mencionado anteriormente, todas as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, seus valores se repetem após um determinado período. Exemplos:
     • O período da função f (x) = sin x é 2π.
     • O período da função f (x) = tan x é igual a π.
     • O período da função f (x) = sin 2x é π.
     • O período da função f (x) = cos (x / 2) é 4π.
   • Se o período for especificado no problema, calcule o valor "x" dentro deste período.
   • Nota: Resolver equações trigonométricas não é uma tarefa fácil e geralmente leva a erros. Portanto, verifique suas respostas com cuidado. Para fazer isso, você pode usar uma calculadora gráfica para representar graficamente a equação R (x) = 0. Nesses casos, as soluções serão apresentadas como frações decimais (ou seja, π é substituído por 3,14).