Como fatorar um número em um produto de fatores primos

Vídeo: DECOMPOSIÇÃO de NÚMEROS em FATORES PRIMOS Prof. Gis/ MATEMÁTICA

Contente

Passos
Parte 1 de 2: Encontrando fatores primários
Parte 2 de 2: usando fatores primários
Exemplos de tarefas
Pontas
Avisos

Qualquer número natural pode ser decomposto no produto de fatores primos. Se você não gosta de lidar com números grandes como 5733, aprenda a fatorá-los (neste caso, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Uma tarefa semelhante é freqüentemente encontrada na criptografia, que lida com problemas de segurança da informação. Se você ainda não está pronto para construir seu próprio sistema de e-mail seguro, aprenda como fatorar os números primeiro.

Passos

Parte 1 de 2: Encontrando fatores primários

1 Aprenda o que é fatoração. A decomposição de um número no produto de fatores é o processo de "dividi-lo" em partes menores.Quando multiplicados, essas partes, ou fatores, fornecem o número original.
- Por exemplo, o número 18 pode ser decomposto nos seguintes produtos: 1 x 18, 2 x 9 ou 3 x 6.
2 Lembre-se do que são os números primos. Um número primo é divisível por apenas dois números sem resto: por si mesmo e por 1. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como um produto de 5 e 1. Esse número não pode ser decomposto em outros fatores. O objetivo de fatorar um número em fatores primos é representá-lo como um produto de números primos. Isso é especialmente útil ao lidar com frações, pois permite compará-las e simplificá-las.
3 Comece com o número original. Escolha um número composto maior que 3. Não faz sentido tomar um número primo, uma vez que ele é divisível apenas por ele mesmo e um.
- Exemplo: vamos decompor o número 24 no produto dos números primos.
4 Vamos dividir esse número no produto de dois fatores. Encontre dois números menores cujo produto seja igual ao número original. Qualquer fator pode ser usado, mas é mais fácil pegar números primos. Uma boa maneira é tentar dividir o número original primeiro por 2, depois por 3 e, em seguida, por 5, e verificar qual desses primos ele divide sem resto.
- Exemplo: Se você não conhece os fatores para 24, tente dividi-lo por pequenos primos. Então você vai descobrir que o número dado é divisível por 2: 24 = 2 x 12... Este é um bom começo.
- Como 2 é um número primo, é bom usá-lo ao fatorar números pares.
5 Comece a construir a árvore de multiplicadores. Este procedimento simples o ajudará a fatorar um número. Para começar, desenhe dois "ramos" abaixo do número original. No final de cada ramo, escreva os fatores encontrados.
- Exemplo:
- 24
- /
- 2 12
6 Fatore a próxima linha de números. Dê uma olhada nos dois novos números (segunda linha da árvore de multiplicadores). Ambos são números primos? Se um deles não for simples, calcule também por dois fatores. Faça mais dois ramos e escreva dois novos fatores na terceira linha da árvore.
- Exemplo: 12 não é um número primo, por isso deve ser fatorado. Use a decomposição 12 = 2 x 6 e escreva na terceira linha da árvore:
- 24
- /
- 2 12
- /
- 2 x 6
7 Continue descendo a árvore. Se um dos novos fatores acabar sendo um número primo, extraia um "ramo" dele e escreva o mesmo número em seu final. Os números primos não podem ser expandidos em fatores menores, então apenas mova-os um nível abaixo.
- Exemplo: 2 é primo. Basta mover 2 da segunda para a terceira linha:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
8 Continue fatorando os números até que você fique apenas com os números primos. Verifique cada nova linha da árvore. Se pelo menos um dos novos fatores não for um número primo, fatore-o e escreva uma nova linha. No final, você ficará com apenas números primos.
- Exemplo: 6 não é um número primo, por isso também deve ser fatorado. Ao mesmo tempo, 2 é um número primo e carregamos os dois dois para o próximo nível:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
- / / /
- 2 2 2 3
9 Escreva a última linha como um produto de fatores primos. No final, você ficará com apenas números primos. Quando isso acontece, a fatoração primária está completa. A última linha é um conjunto de primos, cujo produto fornece o número original.
- Verifique sua resposta: multiplique os números da última linha. O resultado deve ser o número original.
- Exemplo: A última linha da árvore de fatores contém os números 2 e 3. Ambos os números são primos, então a decomposição está completa. Assim, a fatoração principal de 24 tem a seguinte forma: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- A ordem dos fatores não importa. A decomposição também pode ser escrita como 2 x 3 x 2 x 2.
10 Simplifique sua resposta usando notação exponencial, se desejar. Se você está familiarizado com a exponenciação de números, pode escrever a resposta de uma forma mais simples.Lembre-se de que a base está escrita na parte inferior e o número sobrescrito indica quantas vezes essa base deve ser multiplicada por si mesma.
- Exemplo: quantas vezes o número 2 ocorre na decomposição encontrada 2 x 2 x 2 x 3? Três vezes, então a expressão 2 x 2 x 2 pode ser escrita como 2. Em notação simplificada, obtemos 2 x 3.

Parte 2 de 2: usando fatores primários

1 Encontre o maior divisor comum de dois números. O máximo divisor comum (GCD) de dois números é o número máximo pelo qual os dois números são divisíveis sem resto. O exemplo abaixo mostra como usar a fatoração de números primos para encontrar o maior divisor comum de 30 e 36.
- Vamos fatorar os dois números em fatores primos. Para 30, a fatoração é 2 x 3 x 5. O número 36 é decomposto em fatores primos da seguinte forma: 2 x 2 x 3 x 3.
- Vamos encontrar o número que ocorre em ambas as expansões. Vamos riscar esse número em ambas as listas e escrevê-lo em uma nova linha. Por exemplo, 2 ocorre em duas expansões, então escrevemos 2 em uma nova linha. Depois disso, temos 30 = 2 x 3 x 5 e 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Repita esta etapa até que não haja mais fatores comuns nas expansões. Ambas as listas também incluem o número 3, portanto, em uma nova linha, você pode escrever 2 e 3... Em seguida, compare as expansões novamente: 30 = ~~2 x 3~~ x 5 e 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Como você pode ver, não há fatores comuns deixados neles.
- Para encontrar o maior fator comum, encontre o produto de todos os fatores comuns. Em nosso exemplo, são 2 e 3, então o mdc é 2 x 3 = 6... Este é o maior número que divide uniformemente os números 30 e 36.
2 Com a ajuda do GCD, você pode simplificar as frações. Se você suspeitar que uma fração pode ser cancelada, use o maior fator comum. Encontre o GCD do numerador e denominador usando o procedimento acima. Em seguida, divida o numerador e o denominador da fração por esse número. Como resultado, você obtém a mesma fração de uma forma mais simples.
- Por exemplo, vamos simplificar a fração /₃₆... Como afirmamos acima, para 30 e 36, o GCD é 6, portanto, dividimos o numerador e o denominador por 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- /₃₆ = /₆
3 Encontre o mínimo múltiplo comum de dois números. O mínimo múltiplo comum (LCM) de dois números é o menor número que pode ser dividido igualmente por ambos os números. Por exemplo, o MMC de 2 e 3 é 6 porque é o menor número que pode ser divisível por 2 e 3. Abaixo está um exemplo de como encontrar o MMC usando a fatoração principal:
- Vamos começar com duas fatorações principais. Por exemplo, para 126, a fatoração pode ser escrita como 2 x 3 x 3 x 7. O número 84 pode ser decomposto em fatores primos como 2 x 2 x 3 x 7.
- Vamos comparar quantas vezes cada fator ocorre nas expansões. Selecione a lista onde o multiplicador ocorre o número máximo de vezes e circule este local. Por exemplo, o número 2 aparece uma vez na expansão para 126 e duas vezes na lista para 84, então você deve circular 2 x 2 na segunda lista de fatores.
- Repita esta etapa para cada multiplicador. Por exemplo, 3 é mais comum na primeira expansão, então você deve circular nele 3 x 3... O número 7 aparece uma vez em ambas as listas, então circulamos 7 (não importa em qual lista, se o fator dado ocorre em ambas as listas o mesmo número de vezes).
- Para encontrar o LCM, multiplique todos os números circulados. Em nosso exemplo, o mínimo múltiplo comum de 126 e 84 é 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Este é o menor número divisível por 126 e 84 sem resto.
4 Use LCM para adicionar frações. Ao adicionar duas frações, é necessário trazê-las para um denominador comum. Para fazer isso, encontre o MMC dos dois denominadores. Em seguida, multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um número tal que os denominadores das frações sejam iguais ao MMC. Depois disso, você pode adicionar as frações.
- Por exemplo, você precisa encontrar o valor /₆ + /₂₁.
- Usando o método acima, você pode encontrar o LCM para 6 e 21. É 42.
- Nós transformamos a fração /₆ de modo que seu denominador seja 42. Para fazer isso, você precisa dividir 42 por 6: 42 ÷ 6 = 7. Agora multiplique o numerador e o denominador da fração por 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
- Para trazer a segunda fração para o denominador 42, divida 42 por 21: 42 ÷ 21 = 2. Multiplique o numerador e o denominador da fração por 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
- Depois que as frações são reduzidas ao mesmo denominador, elas podem ser facilmente adicionadas: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Exemplos de tarefas

Tente resolver os problemas abaixo você mesmo.Se você acha que recebeu a resposta correta, destaque com o mouse o local após os dois pontos na definição do problema. As últimas tarefas são as mais difíceis.
Encontre a fatoração primária para 16: 2 x 2 x 2 x 2
Escreva sua resposta de forma exponencial: 2
Encontre a fatoração primária de 45: 3 x 3 x 5
Escreva sua resposta na forma exponencial: 3 x 5
Encontre a fatoração principal para 34: 2 x 17
Encontre a fatoração primária de 154: 2 x 7 x 11
Encontre a fatoração primária para 8 e 40, e então determine seu maior fator comum: a fatoração primária de 8 é 2 x 2 x 2 x 2; a fatoração primária de 40 é 2 x 2 x 2 x 5; GCD de dois números 2 x 2 x 2 = 6.
Encontre a fatoração primária para 18 e 52 e encontre seu mínimo múltiplo comum: A fatoração primária de 18 é 2 x 3 x 3; a fatoração primária de 52 é 2 x 2 x 13; O LCM de dois números é 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Pontas

Cada número tem uma característica única de fatoração. Não importa como você encontra essa expansão, você deve acabar com a mesma resposta. Isso é chamado de teorema básico da aritmética.
Em vez de reescrever os números primos em uma nova linha da árvore de fatores a cada vez, você pode deixá-los no lugar e simplesmente circulá-los. No final da expansão, ele incluirá todos os fatores primos circulados.
Sempre verifique a resposta que você recebe. Você pode cometer um erro e não perceber.
Prepare-se para missões complicadas. Se você for solicitado a encontrar uma fatoração primo de um número primo, não há necessidade de fazer nenhum cálculo. Por exemplo, para o número 17, a fatoração principal é 17; este número não pode ser decomposto em outros fatores primos.
O maior fator comum e o mínimo múltiplo comum podem ser encontrados para três ou mais números.