Contente

• Dar um passo
• Parte 1 de 4: Desenhando a matriz
• Parte 2 de 4: Aprendendo as operações para resolver um sistema com uma matriz
• Parte 3 de 4: junte as etapas para resolver a galáxia
• Parte 4 de 4: Verificando sua solução
• Pontas

Uma matriz é uma forma muito útil de representar números em um formato de bloco, que você pode usar para resolver um sistema de equações lineares. Se você tiver apenas duas variáveis, provavelmente usará um método diferente. Leia sobre isso em Resolvendo um Sistema de Equações para exemplos desses outros métodos. Mas se você tiver três ou mais variáveis, um array é o ideal. Usando combinações repetidas de multiplicação e adição, você pode chegar sistematicamente a uma solução.

Dar um passo

Parte 1 de 4: Desenhando a matriz

1. Verifique se você tem dados suficientes. Para obter uma solução única para cada variável em um sistema linear usando uma matriz, você precisa ter tantas equações quanto o número de variáveis ​​que está tentando resolver. Por exemplo: com as variáveis ​​x, y e z, você precisa de três equações. Se você tiver quatro variáveis, precisará de quatro equações.
   • Se você tiver menos equações do que o número de variáveis, descobrirá alguns limites das variáveis ​​(como x = 3y ey = 2z), mas não poderá obter uma solução precisa. Para este artigo, trabalharemos apenas para uma solução única.
2. Escreva suas equações no formulário padrão. Antes de colocar os dados das equações em uma forma de matriz, primeiro você escreve cada equação na forma padrão. A forma padrão para uma equação linear é Ax + By + Cz = D, onde as letras maiúsculas são os coeficientes (números) e o último número (D neste exemplo) está à direita do sinal de igual.
   • Se você tiver mais variáveis, continue na linha pelo tempo que for necessário. Por exemplo, se você estivesse tentando resolver um sistema com seis variáveis, sua forma padrão seria Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. Neste artigo, vamos nos concentrar em sistemas com apenas três variáveis. Resolver uma galáxia maior é exatamente o mesmo, mas requer mais tempo e mais etapas.
   • Observe que, na forma padrão, as operações entre os termos são sempre uma adição. Se houver uma subtração em sua equação, em vez de uma adição, você terá que trabalhar com isso mais tarde, tornando seu coeficiente negativo. Para tornar isso mais fácil de lembrar, você pode reescrever a equação e adicionar a operação e tornar o coeficiente negativo. Por exemplo, você pode reescrever a equação 3x-2y + 4z = 1 como 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Coloque os números do sistema de equações em uma matriz. Uma matriz é um grupo de números, dispostos em uma espécie de tabela, com a qual trabalharemos para resolver o sistema. Ele basicamente contém os mesmos dados que as próprias equações, mas em um formato mais simples. Para fazer a matriz de suas equações no formato padrão, basta copiar os coeficientes e o resultado de cada equação em uma única linha e empilhá-las umas sobre as outras.
   • Suponha que você tenha um sistema que consiste nas três equações 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. A linha superior de sua matriz conterá os números 3, 1, -1, 9, pois esses são os coeficientes e a solução da primeira equação. Observe que qualquer variável que não tenha um coeficiente é considerada como tendo um coeficiente de 1. A segunda linha da matriz torna-se 2, -2, 1, -3 e a terceira linha torna-se 1, 1, 1, 7.
   • Certifique-se de alinhar os coeficientes x na primeira coluna, os coeficientes y na segunda, os coeficientes z na terceira e os termos da solução na quarta. Quando você terminar de trabalhar com a matriz, essas colunas serão importantes ao escrever sua solução.
4. Desenhe um grande colchete ao redor de toda a sua matriz. Por convenção, uma matriz é indicada por um par de colchetes, [], ao redor de todo o bloco de números. Os colchetes não afetam a solução de forma alguma, mas indicam que você está trabalhando com matrizes. Uma matriz pode consistir em qualquer número de linhas e colunas. Neste artigo, usaremos parênteses em torno dos termos em uma linha para indicar que eles pertencem um ao outro.
5. Uso de simbolismo comum. Ao trabalhar com matrizes, é comum referir-se às linhas com a abreviação R e às colunas com a abreviação C. Você pode usar números junto com essas letras para indicar uma linha ou coluna específica. Por exemplo, para indicar a linha 1 de uma matriz, você pode escrever R1. A linha 2 então se torna R2.
   • Você pode indicar qualquer posição específica em uma matriz usando uma combinação de R e C. Por exemplo, para indicar um termo na segunda linha, terceira coluna, você poderia chamá-lo de R2C3.

Parte 2 de 4: Aprendendo as operações para resolver um sistema com uma matriz

1. Compreenda a forma da matriz da solução. Antes de começar a resolver seu sistema de equações, você precisa entender o que fará com a matriz. Neste ponto, você tem uma matriz parecida com esta:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Você trabalha com uma série de operações básicas para criar a "matriz de solução". A matriz da solução será semelhante a esta:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 a
   • 0 0 1 z
   • Observe que a matriz consiste em 1's em uma linha diagonal com 0's em todos os outros espaços, exceto na quarta coluna. Os números na quarta coluna são a solução para as variáveis ​​x, y e z.
2. Use multiplicação escalar. A primeira ferramenta à sua disposição para resolver um sistema usando uma matriz é a multiplicação escalar. Este é simplesmente um termo que significa que você multiplica os elementos em uma linha da matriz por um número constante (não uma variável). Ao usar a multiplicação escalar, lembre-se de que você deve multiplicar cada termo da linha inteira por qualquer número que selecionar. Se você esquecer o primeiro termo e apenas multiplicar, você obterá a solução errada. No entanto, você não precisa multiplicar a matriz inteira ao mesmo tempo. Na multiplicação escalar, você trabalha apenas em uma linha de cada vez.
   • É comum usar frações na multiplicação escalar porque geralmente você deseja obter uma linha diagonal de 1's. Acostume-se a trabalhar com frações. Também será mais fácil (para a maioria das etapas na resolução da matriz) ser capaz de escrever suas frações de forma inadequada e, em seguida, convertê-las de volta em números mistos para a solução final. Portanto, o número 1 2/3 é mais fácil de trabalhar se você escrevê-lo como 5/3.
   • Por exemplo, a primeira linha (R1) do nosso problema de exemplo começa com os termos [3,1, -1,9]. A matriz de solução deve conter 1 na primeira posição da primeira linha. Para "mudar" de 3 para 1, podemos multiplicar a linha inteira por 1/3. Isso cria o novo R1 de [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Certifique-se de deixar quaisquer sinais negativos onde eles pertencem.
3. Use adição ou subtração de linha. A segunda ferramenta que você pode usar é adicionar ou subtrair duas linhas da matriz. Para criar os termos 0 em sua matriz de solução, você deve adicionar ou subtrair números para chegar a 0. Por exemplo, se R1 é de uma matriz [1,4,3,2] e R2 é [1,3,5,8], então você pode subtrair a primeira linha da segunda linha e criar uma nova linha [0, -1, 2,6], porque 1-1 = 0 (primeira coluna), 3-4 = -1 (segunda coluna), 5-3 = 2 (terceira coluna) e 8-2 = 6 (quarta coluna). Ao realizar uma adição ou subtração de linha, reescreva seu novo resultado em vez da linha com a qual você começou. Nesse caso, extrairíamos a linha 2 e inseriríamos a nova linha [0, -1,2,6].
   • Você pode usar uma notação abreviada e declarar esta ação como R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Lembre-se de que adição e subtração são formas opostas da mesma operação. Pense nisso como somar dois números ou subtrair o oposto. Por exemplo, se você começar com a equação simples 3-3 = 0, pode pensar nisso como um problema de adição de 3 + (- 3) = 0. O resultado é o mesmo. Isso parece simples, mas às vezes é mais fácil considerar um problema de uma forma ou de outra. Fique de olho nos seus sinais negativos.
4. Combine adição de linha e multiplicação escalar em uma única etapa. Você não pode esperar que os termos sempre correspondam, então você pode usar uma simples adição ou subtração para criar zeros em sua matriz. Mais frequentemente, você terá que adicionar (ou subtrair) um múltiplo de outra linha. Para fazer isso, primeiro você faz a multiplicação escalar e, em seguida, adiciona esse resultado à linha de destino que está tentando alterar.
   • Suponha; que existe uma linha 1 de [1,1,2,6] e uma linha 2 de [2,3,1,1]. Você quer um termo 0 na primeira coluna de R2. Ou seja, você deseja alterar 2 para 0. Para fazer isso, você deve subtrair 2. Você pode obter um 2 multiplicando primeiro a linha 1 pela multiplicação escalar 2 e, em seguida, subtraindo a primeira linha da segunda linha. Resumindo, isso pode ser escrito como R2-2 * R1. Primeiro, multiplique R1 por 2 para obter [2,2,4,12]. Em seguida, subtraia de R2 para obter [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Simplifique e seu novo R2 será [0,1, -3, -11].
5. Copie as linhas que permanecem inalteradas enquanto você trabalha. Ao trabalhar na matriz, você mudará uma única linha de cada vez, seja por multiplicação escalar, adição de linha ou subtração de linha ou uma combinação de etapas. Ao alterar uma linha, certifique-se de copiar as outras linhas de sua matriz em sua forma original.
   • Um erro comum ocorre ao executar uma multiplicação combinada e etapa de adição em um movimento. Por exemplo, digamos que você precise subtrair R1 de R2 duas vezes. Ao multiplicar R1 por 2 para fazer esta etapa, lembre-se de que R1 não muda na matriz. Você só faz a multiplicação para mudar o R2. Primeiro copie R1 em sua forma original e, em seguida, faça a alteração para R2.
6. Primeiro trabalhe de cima para baixo. Para resolver o sistema, você trabalha em um padrão muito organizado, essencialmente "resolvendo" um termo da matriz por vez. A sequência para uma matriz de três variáveis ​​será semelhante a esta:
   • 1. Faça um 1 na primeira linha, primeira coluna (R1C1).
   • 2. Faça um 0 na segunda linha, primeira coluna (R2C1).
   • 3. Faça um 1 na segunda linha, segunda coluna (R2C2).
   • 4. Faça um 0 na terceira linha, primeira coluna (R3C1).
   • 5. Faça um 0 na terceira linha, segunda coluna (R3C2).
   • 6. Faça um 1 na terceira linha, terceira coluna (R3C3).
7. Trabalhe de baixo para cima. Nesse ponto, se você executou as etapas corretamente, está na metade do caminho. Você deve ter a linha diagonal de 1, com 0 abaixo dela. Os números na quarta coluna não importam neste momento. Agora você trabalha de volta ao topo da seguinte maneira:
   • Crie um 0 na segunda linha, terceira coluna (R2C3).
   • Crie um 0 na primeira linha, terceira coluna (R1C3).
   • Crie um 0 na primeira linha, segunda coluna (R1C2).
8. Verifique se você criou a matriz de solução. Se seu trabalho estiver correto, você criou a matriz de solução com 1's em uma linha diagonal de R1C1, R2C2, R3C3 e 0's nas outras posições das três primeiras colunas. Os números na quarta coluna são as soluções para seu sistema linear.

Parte 3 de 4: junte as etapas para resolver a galáxia

1. Comece com um exemplo de sistema de equações lineares. Para praticar essas etapas, vamos começar com o sistema que usamos anteriormente: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. Se você escrever isso em uma matriz, terá R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] e R3 = [1,1,1,7].
2. Crie um 1 na primeira posição R1C1. Observe que neste ponto R1 começa com 3. Você deve alterá-lo para 1. Você pode fazer isso por multiplicação escalar, multiplicando todos os quatro termos de R1 por 1/3. Em resumo, você pode escrever como R1 * 1/3. Isso dá um novo resultado para R1 se R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Copie R2 e R2, inalterados, quando R2 = [2, -2,1, -3] e R3 = [1,1,1,7].
   • Observe que a multiplicação e a divisão são apenas funções inversas uma da outra. Podemos dizer que multiplicamos por 1/3 ou dividimos por 3, sem alterar o resultado.
3. Crie um 0 na segunda linha, primeira coluna (R2C1). Neste ponto, R2 = [2, -2,1, -3]. Para se aproximar da matriz de solução, você precisa mudar o primeiro termo de 2 para 0. Você pode fazer isso subtraindo duas vezes o valor de R1, já que R1 começa com 1. Em resumo, a operação R2- 2 * R1. Lembre-se, você não altera R1, apenas trabalhe com ele. Portanto, primeiro copie R1 se R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Então, se você dobrar cada termo de R1, obterá 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Finalmente, subtraia este resultado do R2 original para obter seu novo R2. Trabalhando termo a termo, esta subtração torna-se (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Simplificamos isso para o novo R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Observe que o primeiro termo é 0 (seja qual for o seu objetivo).
   • Escreva a linha 3 (que não mudou) como R3 = [1,1,1,7].
   • Tenha cuidado ao subtrair números negativos para garantir que os sinais permaneçam corretos.
   • Agora, primeiro vamos deixar as frações em sua forma imprópria. Isso torna as etapas posteriores da solução mais fáceis. Você pode simplificar as frações na última etapa do problema.
4. Crie um 1 na segunda linha, segunda coluna (R2C2). Para continuar formando a linha diagonal de 1, você deve converter o segundo termo -8/3 em 1. Faça isso multiplicando toda a linha pelo recíproco desse número (-3/8). Simbolicamente, esta etapa é R2 * (- 3/8). A segunda linha resultante é R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Observe que se a metade esquerda da linha começar a se parecer com a solução com 0 e 1, a metade direita pode começar a ficar feia, com frações impróprias. Apenas deixe-os como são agora.
   • Não se esqueça de continuar copiando as linhas intocadas, então R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R3 = [1,1,1,7].
5. Crie um 0 na terceira linha, primeira coluna (R3C1). Seu foco agora se move para a terceira linha, R3 = [1,1,1,7]. Para fazer um 0 na primeira posição, você deve subtrair 1 do 1 atualmente nessa posição. Se você olhar para cima, verá um 1 na primeira posição de R1. Então você só precisa subtrair R1 de R3 para obter o resultado que você precisa. Termo de trabalho para termo, torna-se (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Esses quatro mini-problemas podem então ser simplificados para o novo R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Continue a copiar ao longo de R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Lembre-se de que você altera apenas uma linha de cada vez.
6. Faça um 0 na terceira linha, segunda coluna (R3C2). Este valor é atualmente 2/3, mas deve ser convertido para 0. À primeira vista, parece que você pode subtrair os valores de R1 pelo dobro, uma vez que a coluna correspondente de R1 contém 1/3. No entanto, se você dobrar e subtrair todos os valores de R1, o 0 na primeira coluna de R3 mudará, o que você não quer. Isso seria um retrocesso em sua solução. Portanto, você tem que trabalhar com alguma combinação de R2. Subtrair 2/3 de R2 cria um 0 na segunda coluna, sem alterar a primeira coluna. Resumindo, é R3-2 / 3 * R2. Os termos individuais tornam-se (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . A simplificação então dá R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Crie um 1 na terceira linha, terceira coluna (R3C3). Esta é uma multiplicação simples pelo recíproco do número que ele diz. O valor atual é 42/24, então você pode multiplicar por 24/42 para obter o valor que deseja 1. Observe que os dois primeiros termos são ambos 0, então qualquer multiplicação permanece 0. O novo valor de R3 = [0,0,1,1].
   • Observe que as frações que pareciam bastante complicadas na etapa anterior já estão começando a se resolver.
   • Continue com R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Observe que, neste ponto, você tem a diagonal de 1 para sua matriz de solução. Você só precisa converter três elementos da matriz em 0s para encontrar sua solução.
8. Crie um 0 na segunda linha, terceira coluna. R2 é atualmente [0,1, -5 / 8,27 / 8], com um valor de -5/8 na terceira coluna. Você deve transformá-lo em 0. Isso significa que você deve realizar alguma operação com R3 que consiste em adicionar 5/8. Como a terceira coluna correspondente de R3 é 1, você deve multiplicar todos os valores de R3 por 5/8 e adicionar o resultado a R2. Resumindo, é R2 + 5/8 * R3. O termo para termo é R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Isso pode ser simplificado para R2 = [0,1,0,4].
   • Em seguida, copie R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] e R3 = [0,0,1,1].
9. Crie um 0 na primeira linha, terceira coluna (R1C3). A primeira linha é atualmente R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Você deve converter -1/3 na terceira coluna em 0, usando alguma combinação de R3. Você não quer usar R2, porque o 1 na segunda coluna de R2 mudaria R1 da maneira errada. Então, você multiplica R3 * 1/3 e adiciona o resultado a R1. A notação para isso é R1 + 1/3 * R3. O termo para a elaboração do termo resulta em R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Você pode simplificar isso para um novo R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Copie o R2 inalterado = [0,1,0,4] e R3 = [0,0,1,1].
10. Faça um 0 na primeira linha, segunda coluna (R1C2). Se tudo for feito corretamente, esta deve ser a última etapa. Você deve converter 1/3 na segunda coluna em 0. Você pode obter isso multiplicando e subtraindo R2 * 1/3. Resumidamente, é R1-1 / 3 * R2. O resultado é R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Simplificar então dá R1 = [1,0,0,2].
11. Procure a matriz de solução. Neste ponto, se tudo corresse bem, você teria as três linhas R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] e R3 = [0,0,1,1] tem que ter. Observe que, se você escrever isso na forma de matriz de bloco com as linhas uma acima da outra, terá 1 diagonal com 0 mais adiante, e suas soluções estarão na quarta coluna. A matriz da solução deve ser assim:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Compreendendo sua solução. Depois de converter as equações lineares em uma matriz, você coloca os coeficientes x na primeira coluna, os coeficientes y na segunda coluna, os coeficientes z na terceira coluna. Se você quiser reescrever a matriz em equações novamente, essas três linhas da matriz significam, na verdade, as três equações 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 e 0x + 0y + 1z = 1. Uma vez que podemos riscar os termos 0 e não ter que escrever os coeficientes 1, essas três equações simplificam para a solução, x = 2, y = 4 e z = 1. Esta é a solução para o seu sistema de equações lineares.

Parte 4 de 4: Verificando sua solução

1. Inclua as soluções em cada variável em cada equação. É sempre uma boa ideia verificar se sua solução está realmente correta. Você faz isso testando seus resultados nas equações originais.
   • As equações originais para este problema foram: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 e x + y + z = 7. Ao substituir as variáveis ​​por seus valores encontrados, você obtém 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 e 2 + 4 + 1 = 7.
2. Simplifique qualquer comparação. Execute as operações em cada equação de acordo com as regras básicas das operações. A primeira equação simplifica para 6 + 4-1 = 9 ou 9 = 9. A segunda equação pode ser simplificada para 4-8 + 1 = -3 ou -3 = -3. A última equação é simplesmente 7 = 7.
   • Uma vez que qualquer equação se simplifica para uma declaração matemática verdadeira, suas soluções estão corretas. Se alguma das soluções estiver incorreta, verifique seu trabalho novamente e procure por erros. Alguns erros comuns ocorrem ao se livrar dos sinais de menos ao longo do caminho ou ao confundir a multiplicação e a adição de frações.
3. Escreva suas soluções finais. Para este problema, a solução final é x = 2, y = 4 e z = 1.

Pontas

• Se o seu sistema de equações for muito complexo, com muitas variáveis, você poderá usar uma calculadora gráfica em vez de fazer o trabalho manualmente. Para obter informações sobre isso, você também pode consultar o wikiHow.