Como fatorar um binômio

Vídeo: FACTORING QUADRATICS » how to factor trinomials (a=1) | Math Hacks

Contente

Passos
Parte 1 de 3: binômios de fatoração
Parte 2 de 3: Binômios de fatoração para resolver equações
Parte 3 de 3: Resolvendo problemas complexos
Pontas
Avisos

Um binômio (binomial) é uma expressão matemática com dois termos entre os quais há um sinal de mais ou menos, por exemplo, ${ displaystyle ax + b}$ ... O primeiro membro inclui a variável e o segundo inclui ou não a inclui. Fatorar um binômio envolve encontrar termos que, ao serem multiplicados, produzem o binômio original para resolvê-lo ou simplificá-lo.

Passos

Parte 1 de 3: binômios de fatoração

1 Compreenda os fundamentos do processo de factoring. Ao fatorar um binômio, o fator que é um divisor de cada termo do binômio original é retirado do colchete. Por exemplo, o número 6 é completamente divisível por 1, 2, 3, 6. Assim, os divisores do número 6 são os números 1, 2, 3, 6.
- Divisores 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Os divisores de qualquer número são 1 e o próprio número. Por exemplo, divisores de 3 são 1 e 3.
- Os divisores inteiros só podem ser inteiros. O número 32 pode ser dividido por 3,564 ou 21,4952, mas você não obtém um número inteiro, mas uma fração decimal.
2 Ordene os termos do binômio para facilitar o processo de factoring. Um binômio é a soma ou diferença de dois termos, pelo menos um dos quais contém uma variável. Às vezes, as variáveis são elevadas a uma potência, por exemplo, x2{ displaystyle x ^ {2}} ou 5y4{ displaystyle 5y ^ {4}}... É melhor ordenar os termos do binômio em ordem crescente de expoentes, ou seja, o termo com o menor expoente é escrito primeiro, e com o maior - o último. Por exemplo:
- ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
- ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- x2−2{ displaystyle x ^ {2} -2} → −2+x2{ displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - Observe o sinal de menos na frente de 2. Se um termo for subtraído, escreva um sinal de menos na frente dele.
3 Encontre o máximo divisor comum (GCD) de ambos os termos. GCD é o maior número pelo qual os dois membros do binômio são divisíveis. Para fazer isso, encontre os divisores de cada termo no binomial e selecione o maior divisor comum. Por exemplo:
- Uma tarefa:3t+6{ displaystyle 3t + 6}.
  - Divisores 3: 1, 3
  - Divisores 6: 1, 2, 3, 6.
  - GCD = 3.
4 Divida cada termo no binômio pelo Máximo Divisor Comum (GCD). Faça isso para fatorar o GCD. Observe que cada membro do binômio diminui (porque é divisível), mas se o GCD for excluído do parêntese, a expressão final será igual à original.
- Uma tarefa: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- Encontre o GCD: 3
- Divida cada termo binomial por mdc: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 Mova o divisor para fora dos parênteses. Anteriormente, você dividiu os dois termos do binômio pelo divisor 3 e obteve t+2{ displaystyle t + 2}... Mas você não pode se livrar de 3 - para que os valores das expressões inicial e final sejam iguais, você precisa colocar 3 fora dos parênteses e escrever a expressão obtida como resultado da divisão entre parênteses. Por exemplo:
- Uma tarefa: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- Encontre o GCD: 3
- Divida cada termo binomial por mdc: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- Multiplique o divisor pela expressão resultante: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
- Responder: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6 Verifique sua resposta. Para fazer isso, multiplique o termo antes dos colchetes por cada termo dentro dos colchetes. Se você obtiver o binômio original, a solução está correta. Agora resolva o problema 12t+18{ displaystyle 12t + 18}:
- Ordene os membros: ${ displaystyle 18 + 12t}$
- Encontre o GCD: ${ displaystyle 6}$
- Divida cada termo binomial por mdc: ${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- Multiplique o divisor pela expressão resultante: ${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- Verifique a resposta: ${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Parte 2 de 3: Binômios de fatoração para resolver equações

1 Fatore o binômio para simplificá-lo e resolver a equação. À primeira vista, parece impossível resolver algumas equações (especialmente com binômios complexos). Por exemplo, resolva a equação 5y−2y2=−3y{ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}... Existem poderes nesta equação, portanto, fator a expressão primeiro.
- Uma tarefa: ${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
- Lembre-se de que um binômio possui dois membros. Se a expressão incluir mais termos, saiba como resolver polinômios.
2 Adicione ou subtraia algum monômio a ambos os lados da equação para que zero permaneça em um lado da equação. No caso da fatoração, a solução das equações é baseada no fato imutável de que qualquer expressão multiplicada por zero é igual a zero. Portanto, se igualarmos a equação a zero, qualquer um de seus fatores deve ser igual a zero. Defina um lado da equação como 0.
- Uma tarefa: ${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
- Definido para zero:5y−2y2+3y=−3y+3y{ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 Fatore o bin resultante. Faça isso conforme descrito na seção anterior. Encontre o maior fator comum (GCD), divida os dois termos do binômio por ele e mova o fator para fora dos parênteses.
- Uma tarefa: ${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
- Definido para zero: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- Fator: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 Defina cada fator como zero. Na expressão resultante, 2y é multiplicado por 4 - y, e esse produto é igual a zero. Como qualquer expressão (ou termo) multiplicado por zero é zero, então 2y ou 4 - y é 0. Defina o monômio e o binômio resultantes como zero para encontrar "y".
- Uma tarefa: ${ displaystyle 5a-2a ^ {2} = - 3a}$
- Definido para zero: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- Fator: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- Defina ambos os fatores como 0:
  - ${ displaystyle 2y = 0}$
  - ${ displaystyle 4-y = 0}$
5 Resolva as equações resultantes para encontrar a resposta final (ou respostas). Como cada fator é igual a zero, a equação pode ter várias soluções. Em nosso exemplo:
- 2y=0{ displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - y = 0
- 4−y=0{ displaystyle 4-y = 0}
  - ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - y = 4
6 Verifique sua resposta. Para fazer isso, substitua os valores encontrados na equação original. Se a igualdade for verdadeira, a decisão está correta. Substitua os valores encontrados em vez de "y". Em nosso exemplo, y = 0 ey = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ displaystyle 0 = 0}$ Esta é a decisão certa
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ displaystyle -12 = -12}$ E esta é a decisão certa

Parte 3 de 3: Resolvendo problemas complexos

1 Lembre-se de que um termo com uma variável também pode ser fatorado, mesmo se a variável for elevada a uma potência. Ao fatorar, você precisa encontrar um monômio que divide cada membro do binômio integralmente. Por exemplo, o monômio x4{ displaystyle x ^ {4}} pode ser fatorado x∗x∗x∗x{ displaystyle x * x * x * x}... Ou seja, se o segundo termo do binômio também contém a variável "x", então "x" pode ser retirado dos colchetes. Portanto, trate as variáveis como inteiros. Por exemplo:
- Ambos os membros do binômio ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ contém "t", então "t" pode ser retirado do parêntese: ${ displaystyle t (2 + t)}$
- Além disso, uma variável elevada a uma potência pode ser retirada do suporte. Por exemplo, ambos os membros do binômio ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ conter ${ displaystyle x ^ {2}}$ , assim ${ displaystyle x ^ {2}}$ pode ser retirado do colchete: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 Adicione ou subtraia termos semelhantes para obter um binômio. Por exemplo, dada a expressão 6+2x+14+3x{ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... À primeira vista, este é um polinômio, mas, na verdade, essa expressão pode ser convertida em um binômio. Adicione termos semelhantes: 6 e 14 (não contêm uma variável) e 2x e 3x (contêm a mesma variável "x"). Neste caso, o processo de factoring será simplificado:
- Expressão original: ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- Ordene os membros: ${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- Adicione termos semelhantes: ${ displaystyle 5x + 20}$
- Encontre o GCD: ${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- Fator: ${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3 Fatore a diferença de quadrados perfeitos. Um quadrado perfeito é um número cuja raiz quadrada é um inteiro, por exemplo 9{ displaystyle 9}(3∗3){ displaystyle (3 * 3)}, x2{ displaystyle x ^ {2}}(x∗x){ displaystyle (x * x)} e até mesmo 144t2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12t∗12t){ displaystyle (12t * 12t)}... Se o binômio é a diferença de quadrados perfeitos, por exemplo, uma2−b2{ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}, então é fatorado pela fórmula:
- Fórmula de diferença de quadrados: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
- Uma tarefa: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- Extraia as raízes quadradas:
  - ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- Substitua os valores encontrados na fórmula: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4 Fatore a diferença entre os cubos completos. Se o binômio é a diferença de cubos completos, por exemplo, uma3−b3{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}, então é fatorado usando uma fórmula especial. Neste caso, é necessário extrair a raiz cúbica de cada membro do binômio e substituir os valores encontrados na fórmula.
- A fórmula para a diferença entre cubos: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- Uma tarefa: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- Extraia raízes cúbicas:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Substitua os valores encontrados na fórmula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 Fatore a soma dos cubos inteiros. Ao contrário da soma dos quadrados perfeitos, a soma dos cubos completos, por exemplo, uma3+b3{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}, pode ser fatorado usando uma fórmula especial. É semelhante à fórmula para a diferença entre cubos, mas os sinais são invertidos. A fórmula é bastante simples - para usá-la, encontre a soma dos cubos cheios no problema.
- A fórmula para a soma dos cubos: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- Uma tarefa: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- Extraia raízes cúbicas:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Substitua os valores encontrados na fórmula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Pontas

Às vezes, os membros binomiais não têm um divisor comum. Em algumas tarefas, os membros são apresentados de forma simplificada.
Se você não conseguir encontrar o GCD imediatamente, comece dividindo por números pequenos. Por exemplo, se você não vir que o GCD dos números 32 e 16 é 16, divida os dois números por 2. Você obtém 16 e 8; esses números podem ser divididos por 8. Agora você obtém 2 e 1; esses números não podem ser reduzidos. Assim, é óbvio que existe um número maior (em comparação com 8 e 2), que é o divisor comum dos dois números dados.
Observe que os termos de sexta ordem (com um expoente 6, por exemplo x) são quadrados perfeitos e cubos perfeitos. Assim, para binômios com termos de sexta ordem, por exemplo, x - 64, pode-se aplicar (em qualquer ordem) as fórmulas para a diferença de quadrados e a diferença de cubos. Mas é melhor aplicar primeiro a fórmula da diferença de quadrados para decompor mais corretamente com um binômio.