Contente

• Passos
• Método 1 de 4: Monomial no denominador
• Método 2 de 4: Binomial no denominador
• Método 3 de 4: expressão reversa
• Método 4 de 4: Denominador de raiz cúbica

Em matemática, não é costume deixar uma raiz ou um número irracional no denominador de uma fração. Se o denominador for uma raiz, multiplique a fração por algum termo ou expressão para eliminar a raiz. As calculadoras modernas permitem que você trabalhe com as raízes do denominador, mas o programa educacional requer que os alunos sejam capazes de se livrar da irracionalidade do denominador.

Passos

Método 1 de 4: Monomial no denominador

1. 1 Aprenda a fração. A fração é escrita corretamente se não houver raiz no denominador. Se o denominador tiver um quadrado ou qualquer outra raiz, você precisará multiplicar o numerador e o denominador por algum monômio para se livrar da raiz. Observe que o numerador pode conter uma raiz - isso é normal.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}}$
   • O denominador aqui tem uma raiz ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Multiplique o numerador e o denominador pela raiz do denominador. Se o denominador contém um monômio, é muito fácil racionalizar essa fração. Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo monômio (ou seja, você está multiplicando a fração por 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}$
   • Se você estiver inserindo uma expressão para uma solução em uma calculadora, certifique-se de colocar parênteses ao redor de cada parte para separá-las.
3. 3 Simplifique a fração (se possível). Em nosso exemplo, ele pode ser abreviado dividindo o numerador e o denominador por 7.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Método 2 de 4: Binomial no denominador

1. 1 Aprenda a fração. Se seu denominador contém a soma ou diferença de dois monômios, um dos quais contém uma raiz, é impossível multiplicar a fração por esse binômio para se livrar da irracionalidade.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}$
   • Para entender isso, anote a fração ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$onde o monômio ${ displaystyle a}$ ou ${ displaystyle b}$ contém a raiz. Nesse caso: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Assim, o monômio ${ displaystyle 2ab}$ ainda incluirá a raiz (se ${ displaystyle a}$ ou ${ displaystyle b}$ contém a raiz).
   • Vamos dar uma olhada em nosso exemplo.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Você vê que você não pode se livrar do monômio no denominador ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado binomial do binomial no denominador. Um binômio conjugado é um binômio com o mesmo monômio, mas com o sinal oposto entre eles. Por exemplo, binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ conjugado a um binômio ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}$
   • Compreenda o significado deste método. Considere a fração novamente ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado binomial para o binomial no denominador: ${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Assim, não há monômios que contenham raízes. Desde os monômios ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$ são quadrados, as raízes serão eliminadas.
3. 3 Simplifique a fração (se possível). Se houver um fator comum tanto no numerador quanto no denominador, cancele-o. Em nosso caso, 4 - 2 = 2, que pode ser usado para reduzir a fração.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}} = { frac {4 (2 - { sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Método 3 de 4: expressão reversa

1. 1 Examine o problema. Se você precisa encontrar uma expressão que seja o inverso daquela dada, que contém uma raiz, você terá que racionalizar a fração resultante (e só então simplificá-la). Neste caso, use o método descrito na primeira ou segunda seções (dependendo da tarefa).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Escreva a expressão oposta. Para fazer isso, divida 1 pela expressão dada; se for dada uma fração, troque o numerador e o denominador. Lembre-se de que qualquer expressão é uma fração com 1 no denominador.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}$
3. 3 Multiplique o numerador e o denominador por alguma expressão para eliminar a raiz. Multiplicando o numerador e o denominador pela mesma expressão, você está multiplicando a fração por 1, ou seja, o valor da fração não muda. Em nosso exemplo, recebemos um binômio, portanto, multiplique o numerador e o denominador pelo binômio conjugado.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}$
4. 4 Simplifique a fração (se possível). Em nosso exemplo, 4 - 3 = 1, então a expressão no denominador da fração pode ser cancelada completamente.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • A resposta é um conjugado binomial para esse binômio. É apenas uma coincidência.

Método 4 de 4: Denominador de raiz cúbica

1. 1 Aprenda a fração. O problema pode conter raízes cúbicas, embora isso seja bastante raro. O método descrito é aplicável a raízes de qualquer grau.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Reescreva a raiz como um poder. Aqui você não pode multiplicar o numerador e o denominador por algum monômio ou expressão, porque a racionalização é realizada de uma maneira ligeiramente diferente.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}$
3. 3 Multiplique o numerador e o denominador da fração por alguma potência para que o expoente no denominador se torne 1. Em nosso exemplo, multiplique a fração por ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$... Lembre-se de que quando os graus são multiplicados, seus indicadores somam: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}$
   • Este método é aplicável a quaisquer raízes de grau n. Se uma fração for dada ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, multiplique o numerador e o denominador por ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Assim, o expoente no denominador torna-se 1.
4. 4 Simplifique a fração (se possível).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Se necessário, anote a raiz na resposta. Em nosso exemplo, fatorar o expoente em dois fatores: ${ displaystyle 1/3}$ e ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$