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Duas frações são chamadas de equivalentes se tiverem o mesmo valor. Saber como converter uma fração em suas formas equivalentes é uma habilidade matemática essencial para tudo, desde álgebra básica até matemática avançada. Este artigo apresentará várias maneiras de calcular frações equivalentes, desde a multiplicação e divisão básicas até métodos mais complexos para resolver equações com frações equivalentes.

Passos

Método 1 de 5: Criar Frações Equivalentes

1. 

   Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número. Por definição, duas frações diferentes, mas equivalentes, têm o numerador e o denominador são múltiplos um do outro. Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número resulta em uma fração equivalente. Embora os números nas novas frações sejam diferentes, eles terão os mesmos valores.
   • Por exemplo, se pegarmos a fração 4/8 e multiplicarmos o numerador e o denominador por 2, obtemos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Essas duas frações são equivalentes.
   • (4 × 2) / (8 × 2) é exatamente igual a 4/8 × 2/2. Lembre-se de que, quando multiplicamos duas frações, multiplicamos horizontalmente, ou seja, o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
   • Observe que 2/2 é igual a 1 quando você faz a divisão. Portanto, é fácil ver por que 4/8 e 8/16 são iguais porque 4/8 × (2/2) ainda é = 4/8. Da mesma forma, 4/8 = 8/16.
   • Qualquer fração possui um número infinito de frações equivalentes. Você pode multiplicar o numerador e o denominador por qualquer inteiro, grande ou pequeno, para obter uma fração equivalente.

2. 

   
   
   Divida o numerador e o denominador pelo mesmo número. Assim como a multiplicação, a divisão também é usada para encontrar uma nova fração equivalente à fração original. Basta dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. Porém, a fração obtida deve ter o numerador e a amostra inteiros.
   • Por exemplo, observe a fração 4/8. Em vez de multiplicar, dividimos o numerador e o denominador por 2, temos (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 e 4 são números inteiros, então essa fração equivalente é válida.
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Método 2 de 5: usando a multiplicação básica para determinar a equivalência

1. 

   
   
   Encontre o número em que o denominador maior é multiplicado pelo denominador menor. Muitos problemas de fração envolvem determinar se duas frações são iguais ou não. Ao calcular esse número, você pode retornar as frações ao mesmo termo para determinar a equivalência.
   • Por exemplo, recupere as frações 4/8 e 8/16. O denominador menor é 8 e teremos que multiplicar esse número por 2 para obter o denominador maior de 16. Portanto, o número a procurar neste caso é 2.
   • Para números mais complexos, você só precisa dividir o denominador grande pelo denominador pequeno. No exemplo acima, 16 dividido por 8, o resultado é 2.
   • Esse número nem sempre é um inteiro. Por exemplo, se os denominadores forem 2 e 7, então 7 dividido por 2 é igual a 3,5.

2. 

   
   
   O numerador e o denominador da fração são expressos no termo inferior com o número identificado na etapa anterior. Por definição, existem duas frações diferentes, mas equivalentes O numerador e o denominador são múltiplos um do outro. Em outras palavras, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número resulta em uma fração equivalente. Embora os números nesta nova fração sejam diferentes, seus valores são os mesmos.
   • Por exemplo, se pegarmos a fração 4/8 da etapa um e multiplicarmos o numerador e a amostra pelo número 2 especificado anteriormente, temos (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Isso prova que essas duas frações são equivalentes.
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Método 3 de 5: Usando a divisão básica para determinar a equivalência

1. 

   Divida cada fração em um decimal. Para frações simples sem variáveis, você só precisa representar cada fração como um decimal para determinar a equivalência. Como cada fração é essencialmente uma divisão, essa é a maneira mais simples de determinar a equivalência.
   • Por exemplo, pegue a fração 4/8 acima. A fração 4/8 é igual a 4 dividido por 8, 4/8 = 0,5. Você pode dividir essa fração assim, 8/16 = 0,5. Independentemente do formato das frações, elas são equivalentes se os dois números forem iguais quando expressos em decimal.
   • Lembre-se de que a representação decimal pode produzir muitos dígitos antes de concluir que eles não são equivalentes. Um exemplo básico é 1/3 = 0,333… enquanto 3/10 = 0,3. Apenas mais de um dígito, descobrimos que essas duas frações não são equivalentes.

2. 

   Divida o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. Para frações mais complexas, este método de divisão requer etapas adicionais. Como a multiplicação, você pode dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número para obter uma fração equivalente. No entanto, a fração obtida deve ter o numerador e a amostra inteiros.
   • Exemplo de fração 4/8. Em vez de nos multiplicar, estamos compartilhar Tanto o numerador quanto o denominador fornecem 2, obtemos (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 e 4 são números inteiros, então essa fração equivalente é válida.

3. 

   
   
   Reduza a fração à sua forma mínima. A maioria das frações é geralmente expressa em uma forma mínima e você pode retorná-las à sua forma mínima dividindo pelo maior fator comum do numerador e da amostra. Esta etapa funciona na mesma lógica de representar frações equivalentes, convertendo-as no mesmo denominador, mas esse método requer a redução de cada fração à sua forma mínima.
   • Quando uma fração está em sua forma mínima, o numerador e seu denominador são os menores possíveis. Você não pode dividi-los por qualquer inteiro para obter um número menor. Para converter uma fração em sua forma mínima, dividimos o numerador e o denominador por maior fator comum.
   • O maior fator comum do numerador e do denominador é o número máximo pelo qual eles são divisíveis. Então, no exemplo 4/8, porque 4 é o maior número pelo qual 4 e 8 são divisíveis, dividiremos o numerador e o denominador dessa fração por 4 para obter a forma simplificada. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Em outro exemplo 8/16, GCF é 8, o resultado também é 1/2.
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Método 4 de 5: Usando Multiplicação Cruzada para Resolver o Problema de Variáveis

1. 

   
   
   Coloque duas frações iguais. Usamos a multiplicação cruzada para problemas em que sabemos que as frações são equivalentes, mas um dos números foi substituído pela variável (geralmente x) que temos que resolver o problema para encontrar. Em casos como esses, a multiplicação cruzada é um método rápido.

2. 

   
   
   Pegue duas frações equivalentes e cruze-as usando um "X". Em outras palavras, você multiplica o numerador de uma fração pelo denominador da outra e vice-versa, e então iguala esses dois resultados e resolve o problema.
   • Veja dois exemplos, 4/8 e 8/16. Essas duas frações não contêm variáveis, mas podemos provar que são equivalentes. Pela multiplicação cruzada, obtemos 4 x 16 = 8 x 8, ou 64 = 64, o que é obviamente correto. Se os dois números não forem iguais, as frações não são equivalentes.

3. 

   Coloque as variáveis ​​em. Visto que a multiplicação cruzada é a maneira mais fácil de determinar frações equivalentes quando você tem que resolver o problema de encontrar variáveis, adicione variáveis.
   • Por exemplo, considere a seguinte equação 2 / x = 10/13. Para fazer a multiplicação cruzada, multiplicamos 2 por 13 e 10 por x, em seguida, colocamos esses dois resultados iguais:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26. Por métodos algébricos simples, podemos encontrar a variável x = 26/10 = 2.6, então as duas primeiras frações equivalentes são 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Use multiplicação cruzada para equações com múltiplas variáveis ​​ou expressões de variáveis. Uma das coisas mais legais sobre a multiplicação cruzada é que, quer você tenha duas frações simples (como acima) ou frações mais complexas, a solução é exatamente a mesma. Por exemplo, se ambas as frações contêm variáveis, simplesmente remova-as na última etapa do processo de solução do problema. Da mesma forma, se os numeradores e denominadores de frações contiverem expressões variáveis ​​(como x + 1), basta fazer a multiplicação cruzada e resolver como faria normalmente.
   • Por exemplo, considere a seguinte equação ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Como acima, resolvemos por meio da multiplicação cruzada de duas frações:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12, subtraia os lados para 2x
     • 2 = 2x + 12, para separar a variável subtraímos os lados para 12
     • -10 = 2x, e divida os lados por 2 para encontrar x
     • -5 = x
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Método 5 de 5: Usando a solução quadrática para resolver equações variáveis

1. 

   Cruze multiplique duas frações. Para problemas de equivalência que requerem o uso de soluções quadráticas, ainda começamos usando a multiplicação cruzada. No entanto, qualquer multiplicação cruzada envolve a multiplicação do termo que contém uma variável pelo termo que contém outra variável tem o potencial de produzir uma expressão que não pode ser facilmente resolvida pelo método algébrico. Em casos como esses, você precisará usar técnicas como fatoração e / ou fórmulas quadráticas.
   • Por exemplo, considere a seguinte equação ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Etapa 1, nós multiplicamos:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2x - 2 = 12.

2. 

   Expresse a equação como uma equação quadrática. Devemos agora representar a equação na forma quadrática (ax + bx + c = 0), onde definimos a equação para 0. Neste caso, subtraímos ambos os lados por 12 para obter 2x. - 14 = 0.
   • Alguns valores podem ser zero. Embora 2x - 14 = 0 seja a forma mais simples de equação, sua quadrática é na verdade 2x + 0x + (-14) = 0. Ajuda a refletir Corrija a forma de uma equação quadrática mesmo se alguns valores forem 0.

3. 

   Resolva uma equação inserindo os coeficientes conhecidos na fórmula da solução. A fórmula quadrática (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) nos ajudará a resolver o problema de encontrar x neste ponto. Não tenha medo porque a fórmula parece longa. Simplesmente pegue os valores da equação quadrática na etapa dois e substitua-os em suas respectivas posições antes de resolver.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. Na equação, 2x - 14 = 0, a = 2, b = 0 e c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10,58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   Verifique suas respostas conectando ox de volta à sua equação quadrática. Substituindo o x encontrado de volta em sua equação quadrática da etapa dois, você pode determinar facilmente se sua resposta é verdadeira ou falsa. Neste exemplo, você substituiria 2,64 e -2,64 na equação quadrática original. propaganda

Adendo

• Converter frações em frações de igual valor é na verdade a forma de multiplicá-las por 1. Ao converter 1/2 em 2/4, na verdade multiplicamos o numerador e o denominador por 2 ou multiplicamos. 1/2 com 2/2, que é igual a 1.
• Se desejar, converta o número misto em uma fração irregular para tornar a conversão mais fácil. Obviamente, nem todas as frações que você encontra são tão fáceis de converter quanto nosso exemplo 4/8 acima. Por exemplo, números mistos (por exemplo 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) podem tornar a transição um pouco mais complicada. Se você precisar converter um número misto em uma fração equivalente, poderá fazê-lo de duas maneiras: converta o número misto em uma fração irregular e, em seguida, converta normalmente, ou mantenha o número misto e considere o número misto a resposta.
  • Para converter uma fração irregular, multiplique a parte inteira do número misto pelo denominador da fração e, em seguida, adicione-o ao numerador. Por exemplo, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Em seguida, se desejar, você pode converter em frações equivalentes conforme necessário. Por exemplo, 5/3 × 2/2 = 10/6, que ainda é igual a 1 2/3.
  • No entanto, não precisamos converter para a fração irregular como acima. Ignore a parte inteira, converta apenas a parte fracionária e adicione a parte inteira do número de volta à parte fracionária convertida. Por exemplo, para 3 4/16, olharemos apenas para 4/16. 4/16 & divide; 4/4 = 1/4. Adicionando a parte inteira de volta, temos o novo número misto 3 1/4.

Atenção

• Multiplicação e divisão são usadas para criar frações equivalentes porque a multiplicação e divisão pela forma fracionária do número 1 (2/2, 3/3, etc.) por definição não tem efeito sobre os valores fracionários. original. Adição e subtração não fazem isso.
• Embora você multiplique o denominador e o denominador ao multiplicar frações, você não pode adicionar ou subtrair o denominador ao adicionar ou subtrair frações.
  • Como no exemplo acima, vemos que 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Se ao invés eu mais para 4/4, a resposta será completamente diferente. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 Boa 3/2, nenhuma resposta é igual a 4/8.