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• Passos
• Pontas

A função racional tem a forma y = N (x) / D (x), onde N e D são polinômios. Para plotar tal função com precisão, você precisa de um bom conhecimento de álgebra, incluindo cálculos diferenciais. Considere o seguinte exemplo: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Passos

1. 1 Encontre a interceptação y do gráfico. Para fazer isso, substitua x = 0 na função e obtenha y = 5/2. Assim, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo Y possui coordenadas (0, 5/2).Coloque este ponto no plano de coordenadas.
2. 2 Encontre as assíntotas horizontais. Divida o numerador pelo denominador (em uma coluna) para determinar o comportamento de "y" com valores de "x" tendendo ao infinito. Em nosso exemplo, a divisão será y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Para grandes valores positivos ou negativos de "x" 17 / (8x + 4) tende a zero, e o gráfico se aproxima da linha reta dada pela função y = (1/2)x - (7/4). Usando a linha pontilhada, plote esta função.
   • Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, então você não pode dividir o numerador pelo denominador e a assíntota será descrita pela função no = 0.
   • Se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, então a assíntota é uma linha horizontal igual à razão dos coeficientes em "x" no grau mais alto.
   • Se o grau do numerador for 1 maior que o grau do denominador, então a assíntota é uma linha reta inclinada, a inclinação da qual é igual à razão dos coeficientes em "x" no grau mais alto.
   • Se o grau do numerador for maior que o grau do denominador em 2, 3, etc., para valores grandes |NS| significado no tendem ao infinito (positivo ou negativo) na forma de um quadrado, cúbico ou outro grau de um polinômio. Nesse caso, muito provavelmente, você não precisa construir um gráfico exato da função obtida dividindo o numerador pelo denominador.
3. 3 Encontre os zeros da função. Uma função racional tem zeros quando seu numerador é zero, ou seja, N (NS) = 0. Em nosso exemplo, 2x - 6x + 5 = 0. O discriminante desta equação quadrática: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Uma vez que o discriminante é negativo, então N (NS) e, portanto, F (NS) não tem raízes reais. O gráfico de uma função racional não cruza o eixo X. Se a função tiver zeros (raízes), coloque-os no plano de coordenadas.
4. 4 Encontre as assíntotas verticais. Para fazer isso, defina o denominador como zero. Em nosso exemplo, 4x + 2 = 0 e NS = -1/2. Trace a assíntota vertical usando a linha pontilhada. Se por algum valor NS N (NS) = 0 e D (NS) = 0, então a assíntota vertical existe ou não existe (este é um caso raro, mas é melhor lembrar).
5. 5 Observe o restante do numerador dividido pelo denominador. É positivo, negativo ou zero? Em nosso exemplo, o restante é 17, o que é positivo. Denominador 4x + 2 positivo à direita da assíntota vertical e negativo à esquerda dela. Isso significa que o gráfico da função racional para grandes valores positivos NS aproxima-se da assíntota de cima, e para grandes valores negativos NS - de baixo. Desde 17 / (8x + 4) nunca é igual a zero, então o gráfico desta função nunca cruzará a linha reta especificada pela função no = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Encontre extremos locais. Existe um extremo local para N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0. Em nosso exemplo, N ’(x) = 4x - 6 e D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D ’(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Resolvendo esta equação, você descobre que x = 3/2 e x = -5/2. (Esses valores não são totalmente precisos, mas são adequados para o nosso caso, quando a superprecisão não é necessária.)
7. 7 Encontre o valor no para cada extremo local. Para fazer isso, substitua os valores NS na função racional original. Em nosso exemplo, f (3/2) = 1/16 ef (-5/2) = -65/16. Separe os pontos (3/2, 1/16) e (-5/2, -65/16) no plano de coordenadas. Como os cálculos são baseados em valores aproximados (da etapa anterior), o mínimo e o máximo encontrados também não são totalmente precisos (mas provavelmente muito próximos dos valores exatos). (O ponto (3/2, 1/16) está muito próximo do mínimo local. A partir da etapa 3, sabemos que no sempre positivo para NS> -1/2, e encontramos um valor pequeno (1/16); portanto, o valor do erro é extremamente pequeno neste caso.)
8. 8 Conecte os pontos pendentes e estenda suavemente o gráfico até as assíntotas (não se esqueça da direção correta do gráfico se aproximando das assíntotas). Lembre-se de que o gráfico não deve cruzar o eixo X (consulte a etapa 3). O gráfico também não se cruza com as assíntotas horizontais e verticais (consulte a etapa 5). Não mude a direção do gráfico, exceto nos pontos extremos encontrados na etapa anterior.

Pontas

• Se você seguiu as etapas acima estritamente na ordem, não há necessidade de calcular as derivadas secundárias (ou quantidades complexas semelhantes) para testar sua solução.
• Se você não precisa calcular os valores das quantidades, você pode substituir encontrar extremos locais calculando alguns pares adicionais de coordenadas (NS, no) entre cada par de assíntotas. Além disso, se você não se importa como o método descrito funciona, então não se surpreenda porque você não pode encontrar a derivada e resolver a equação N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0.
• Em alguns casos, você terá que trabalhar com polinômios de ordem superior. Se você não conseguir encontrar a solução exata usando fatoração, fórmulas, etc., estime as soluções possíveis usando métodos numéricos, como o método de Newton.
• Em casos raros, o numerador e o denominador compartilham um fator de variável comum. De acordo com as etapas descritas, isso resultará em zero e uma assíntota vertical no mesmo local. No entanto, isso não é possível e a explicação é uma das seguintes:
  • Zero em N (NS) tem uma multiplicidade maior que zero em D (NS) Gráfico F (NS) tende a zero neste ponto, mas não está definido lá. Indique isso desenhando um círculo ao redor do ponto.
  • Zero em N (NS) e zero em D (NS) têm a mesma multiplicidade. O gráfico se aproxima de algum ponto diferente de zero neste valor NSmas não definido nele. Indique isso desenhando um círculo ao redor do ponto.
  • Zero em N (NS) tem uma multiplicidade menor que zero em D (NS) Existe uma assíntota vertical aqui.