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• Passos
• Adendo

A velocidade é definida como a velocidade de um objeto em uma determinada direção. Em muitos casos, para encontrar a velocidade, usaremos a equação v = s / t, onde v é a velocidade, s é a distância total do deslocamento do objeto de sua posição original e t é o tempo que leva para o objeto se deslocar. vá até o fim. No entanto, em teoria, esta fórmula é apenas para velocidade médio de coisas no caminho. Calculando a velocidade do objeto em qualquer momento ao longo da distância. Isso é Tempo de transporte e é definido pela equação v = (ds) / (dt), ou seja, a derivada da equação para a velocidade média.

Passos

Parte 1 de 3: Calcule a velocidade instantânea

1. 

   
   
   Comece com uma equação para calcular a velocidade pela distância de deslocamento. Para encontrar a velocidade instantânea, devemos primeiro ter uma equação que indica a posição do objeto (em termos de deslocamento) em qualquer momento. Isso significa que a equação deve ter apenas uma variável S de um lado e vire t Por outro lado (não necessariamente apenas uma variável), assim:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Nesta equação, as variáveis ​​são:

     s = deslocamento. A distância que o objeto se moveu de sua posição original. Por exemplo, se um objeto pode andar 10 metros para a frente e 7 metros para trás, sua distância total de viagem é de 10 - 7 = 3 metros (não 10 + 7 = 17m).

     t = tempo. Essa variável é simples, sem explicação, geralmente medida em segundos.

2. 

   
   
   Faça a derivada da equação. A derivada da equação é outra equação que mostra a inclinação da distância em um determinado momento. Para encontrar a derivada da equação pela distância de deslocamento, tome o diferencial da função de acordo com a seguinte regra geral para calcular a derivada: Se y = a * x, Derivative = a * n * x. Isso se aplica a todos os termos do lado "t" da equação.
   • Em outras palavras, comece a obter o diferencial da esquerda para a direita no lado "t" da equação. Sempre que encontrar a variável "t", você subtrai o expoente por 1 e multiplica o termo pelo expoente original. Quaisquer termos constantes (termos sem "t") desaparecerão porque são multiplicados por 0. Na verdade, o processo não é tão difícil quanto você pode pensar - vamos usar a equação da etapa acima como exemplo:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Substitua "s" por "ds / dt". Para mostrar que a nova equação é a derivada do quadrado original, substituímos "s" pelo símbolo "ds / dt". Em teoria, essa notação é "a derivada de s em termos de t". Uma maneira mais simples de entender essa notação, ds / dt é a inclinação de qualquer ponto na equação inicial. Por exemplo, para encontrar a inclinação da distância descrita pela equação s = -1,5t + 10t + 4 no tempo t = 5, substituímos "5" por t na derivada da equação.
   • No exemplo acima, a derivada da equação se parece com isto:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Substitua um valor de t na nova equação para encontrar a velocidade instantânea. Agora que temos a equação derivada, encontrar a velocidade instantânea em qualquer momento é muito fácil. Tudo o que você precisa fazer é escolher um valor t e substituí-lo pela equação derivada. Por exemplo, se quisermos encontrar a velocidade instantânea em t = 5, só precisamos substituir "5" por t na equação derivada ds / dt = -3t + 10. Resolveremos a equação assim:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metros / segundo

   • Observe que usamos a unidade "metros / segundo" acima.Já que estamos resolvendo o problema com deslocamento em metros e tempo em segundos, onde a velocidade é precisamente o deslocamento no tempo, esta unidade é adequada.
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Parte 2 de 3: Estimando a velocidade instantânea graficamente

1. 

   Faça um gráfico da distância de movimento do objeto ao longo do tempo. Na seção anterior, dissemos que a derivada também é uma fórmula que nos permite encontrar a inclinação em qualquer ponto da equação tirada da derivada. Na verdade, se você mostrar a distância móvel do objeto em um gráfico, A inclinação do gráfico em qualquer ponto é a velocidade instantânea do objeto naquele ponto.
   • Para representar graficamente as distâncias de movimento, use o eixo x para tempo e o eixo y para deslocamento. Em seguida, você determina um número de pontos inserindo os valores de t na equação de movimento, o resultado são os valores de s e pontilha os pontos t, s (x, y) no gráfico.
   • Observe que o gráfico pode se estender abaixo do eixo x. Se a linha que mostra o movimento do objeto desce no eixo x, isso significa que o objeto se move para trás de sua posição original. Em geral, o gráfico não se estende para trás do eixo y - geralmente não medimos a velocidade dos objetos que se deslocam no tempo!

2. 

   Selecione um ponto P e um ponto Q localizado próximo ao ponto P no gráfico. Para encontrar a inclinação do gráfico no ponto P, usamos a técnica de "determinação do limite". Encontrar o limite significa pegar dois pontos (P e Q (um ponto próximo a P)) na curva e encontrar a inclinação da linha que conecta esses dois pontos, repetindo esse processo conforme a distância entre P e Q diminui. gradualmente.
   • Suponha que a distância de deslocamento tenha pontos (1; 3) e (4; 7). Neste caso, se quisermos encontrar a inclinação em (1; 3), podemos definir (1; 3) = P e (4; 7) = Q.

3. 

   Encontre a inclinação entre P e Q. A inclinação entre P e Q é a diferença dos valores y para P e Q sobre a diferença dos valores x para P e Q. Em outras palavras, H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P), onde H é a inclinação entre dois pontos. Neste exemplo, a inclinação entre P e Q é:
   

   H = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Repita várias vezes movendo Q para mais perto de P. O objetivo é diminuir a distância entre P e Q até chegarem a um único ponto. Quanto menor for a distância entre P e Q, mais próxima a inclinação do segmento infinitamente pequeno estará da inclinação no ponto P. Repita algumas vezes para a nossa equação de exemplo, usando os pontos (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) e (1,25; 3,49) fornecem Q e as coordenadas iniciais de P são (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Estima a inclinação do segmento extremamente pequeno na curva do gráfico. À medida que Q se aproxima cada vez mais de P, H se aproxima gradualmente da inclinação em P. Finalmente, em uma linha muito pequena, H será a inclinação em P. Porque não podemos medir ou calcular O comprimento de uma linha é extremamente pequeno, então apenas estime a inclinação em P quando ela estiver claramente visível a partir dos pontos que calculamos.
   • No exemplo acima, conforme movemos H para mais perto de P, temos os valores de H de 1,8; 1,9 e 1,96. Como esses números estão chegando perto de 2, podemos dizer 2 é o valor aproximado da inclinação em P.
   • Lembre-se de que a inclinação em qualquer ponto do gráfico é a derivada da equação do gráfico naquele ponto. Como o gráfico representa o deslocamento de um objeto ao longo do tempo, como vimos na seção anterior, sua velocidade instantânea em qualquer ponto é a derivada da distância de deslocamento do objeto no ponto do problema. Acesso, podemos dizer 2 metros por segundo é uma estimativa aproximada da velocidade instantânea quando t = 1.
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Parte 3 de 3: Exemplo de problema

1. 

   Encontre a velocidade instantânea quando t = 1 com a equação de deslocamento s = 5t - 3t + 2t + 9. Como no exemplo da primeira seção, mas esta é uma cúbica em vez de quadrática, portanto, podemos resolver o problema da mesma maneira.
   • Primeiro, pegue a derivada da equação:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Em seguida, substituímos o valor de t (4) em:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metros por segundo

2. 

   Use o método de estimativa de gráfico para encontrar a velocidade instantânea em (1; 3) para a equação de deslocamento s = 4t - t. Para este problema, usamos as coordenadas (1; 3) como ponto P, mas devemos encontrar outros pontos Q localizados próximos a ele. Então, tudo o que precisamos fazer é encontrar os valores de H e deduzir o valor estimado.
   • Primeiro, encontramos Q pontos quando t = 2; 1,5; 1.1 e 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, então Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, então Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, então Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, então é isso Q = (1,01; 3,0704)

   • Em seguida, obteremos os valores H:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Uma vez que os valores de H parecem estar mais próximos de 7, podemos dizer que 7 metros por segundo é uma estimativa aproximada da velocidade instantânea na coordenada (1; 3).
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Adendo

• Para encontrar a aceleração (mudança na velocidade ao longo do tempo), use o método da primeira parte para obter a derivada da equação de deslocamento. Em seguida, pegue a derivada novamente para a equação derivada que você acabou de encontrar. Como resultado, você tem uma equação para a aceleração em um determinado ponto no tempo - tudo o que você precisa fazer é conectar o tempo.
• A equação para a correlação de Y (distância de deslocamento) com X (tempo) pode ser muito simples, pois Y = 6x + 3. Neste caso, a inclinação é constante e não é necessário tomar a derivada para calcular a inclinação, ou seja, segue a forma de equação básica Y = mx + b para um gráfico linear, ou seja, a inclinação é igual a 6.
• A distância de deslocamento é como a distância, mas tem uma direção, portanto, é uma quantidade vetorial e a velocidade é uma quantidade escalar. As distâncias de viagem podem ser negativas, enquanto as distâncias podem ser apenas positivas.