Simplifique as frações empilhadas

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Dar um passo
Método 1 de 2: simplifique as frações empilhadas com multiplicação reversa
Método 2 de 2: simplifique as frações empilhadas com termos variáveis
Pontas

Frações empilhadas são aquelas em que o numerador, denominador ou ambos também contêm frações. Por esse motivo, você também pode chamar isso de "frações em frações". Simplificar frações empilhadas é um processo que pode variar de fácil a difícil com base em quantos termos estão no numerador e denominador, se um dos termos é variável e, em caso afirmativo, a complexidade dos termos variáveis. Veja a etapa 1 abaixo para começar!

Dar um passo

Método 1 de 2: simplifique as frações empilhadas com multiplicação reversa

Se necessário, simplifique o numerador e o denominador em algumas frações. As frações empilhadas não são necessariamente difíceis de resolver. Na verdade, as frações empilhadas em que o numerador e o denominador contêm uma única fração são geralmente fáceis de resolver. Portanto, se o numerador ou denominador da fração empilhada (ou ambos) contiver várias frações ou frações e números inteiros, simplifique conforme necessário para obter uma única fração no numerador e no denominador. Isso pode exigir a localização do mínimo múltiplo comum (LCM) de duas ou mais frações.
- Suponha que queremos simplificar a fração complexa (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Primeiro, podemos simplificar o numerador e o denominador de nossa fração complexa para frações simples.
  - Para simplificar o numerador, tomamos um LCV de 15 multiplicando 3/5 por 3/3. Nosso contador torna-se 15/9 + 15/2, que é igual a 15/11.
  - Para simplificar o denominador, tomamos um MMC de 70 multiplicando 5/7 por 10/10 e 3/10 por 7/7. Nosso denominador se torna 50/70 - 21/70, que é igual a 29/70.
  - Portanto, nossa nova fração empilhada é (11/15)/(29/70).
Vire o denominador e encontre o reverso. Por definição compartilhar de um número através de outro igual a ele multiplique o primeiro número pelo recíproco do segundo número. Agora que obtivemos uma fração empilhada com uma única fração no numerador e no denominador, podemos usar esta propriedade de divisão para simplificar nossa fração empilhada! Primeiro, encontre o inverso do denominador da fração empilhada. Faça isso "revertendo" a fração - o numerador substitui o denominador e vice-versa.
- Em nosso exemplo, o denominador da fração empilhada (11/15) / (29/70) é a fração 29/70. Para encontrar o reverso, nós o invertemos e nos tornamos a fração 70/29.
  - Observe que se a fração empilhada tiver um número inteiro em seu denominador, você pode tratá-la como uma fração e ainda encontrar seu inverso. Por exemplo, suponha que a fração empilhada fosse (11/15) / (29), então podemos definir o denominador como 29/1, com o inverso 1/29.
Multiplique o numerador da fração empilhada pelo inverso do denominador. Agora que você obteve o inverso do denominador de sua fração empilhada, multiplique pelo numerador para obter uma única fração simples! Lembre-se, para multiplicar duas frações, não fazemos multiplicação cruzada - o numerador da nova fração é o produto do numerador dos dois antigos, e é da mesma forma com o denominador.
- Em nosso exemplo, estamos multiplicando 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 e 15 × 29 = 435. Nossa nova fração simples também 770/435.
Simplifique a nova fração encontrando o maior divisor comum. Agora temos uma fração única e simples, então tudo o que resta é colocá-la nos termos mais simples possíveis. Encontre o máximo divisor comum (mdc) do numerador e do denominador e divida ambos por este número para simplificá-lo.
- Um divisor comum de 770 e 435 é 5. Portanto, se dividirmos o numerador e o denominador da nossa fração por 5, obtemos 154/87. 154 e 87 não têm denominadores comuns, então sabemos que encontramos a resposta final!

Método 2 de 2: simplifique as frações empilhadas com termos variáveis

Quando possível, use o método de multiplicação reversa descrito acima. Para ficar claro, quase qualquer fração empilhada pode ser simplificada reduzindo o numerador e denominador a algumas frações e multiplicando o numerador pelo inverso do denominador. Frações empilhadas com variáveis não são exceção, mas quanto mais complexas são as expressões de variáveis na fração empilhada, mais difícil e demorado é fazer a multiplicação reversa. Para frações empilhadas "simples" com variáveis, a multiplicação pelo inverso é uma boa escolha, mas frações empilhadas com vários termos variáveis no numerador e denominador podem ser mais fáceis de simplificar com o método alternativo descrito abaixo.
- Por exemplo: (1 / x) / (x / 6) é fácil de simplificar com a multiplicação reversa. 1 / x × 6 / x = "6 / x. Não é necessário usar um método alternativo.
- No entanto, a fração (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) é mais difícil de simplificar com a multiplicação reversa. Reduzir o numerador e o denominador dessa fração empilhada a algumas frações, multiplicação reversa e reduzir o resultado aos termos mais simples é provavelmente um processo complicado. Nesse caso, o método alternativo abaixo pode ser mais simples.
Se a multiplicação reversa for impraticável, comece encontrando o mínimo divisor comum dos termos parciais na fração empilhada. A primeira etapa neste método alternativo de simplificação é encontrar o kgd de todos os termos fracionários na fração empilhada - tanto no numerador quanto no denominador. Se algum dos termos da fração tiver variáveis em seus denominadores, o kgd será simplesmente o produto de seus denominadores.
- Isso é mais fácil de entender com um exemplo. Vamos tentar simplificar a fração empilhada mencionada acima, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Os termos da fração nesta fração composta são (1) / (x + 3) e (1) / (x-5). O denominador comum dessas duas frações é o produto de seus denominadores: (x + 3) (x-5).
Multiplique o numerador da fração empilhada pelo kgd que acabou de ser encontrado. Em seguida, precisamos multiplicar os termos em nossa fração empilhada pelo kgd de seus termos de fração. Em outras palavras, multiplicaremos toda a fração empilhada por (kgd) / (kgd). Podemos fazer isso apenas porque (kgd) / (kgd) é igual a 1. Primeiro multiplique o numerador por ele mesmo.
- Em nosso exemplo, multiplicamos a fração empilhada (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), por ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Teremos que multiplicar pelo numerador e denominador da fração empilhada, multiplicando cada termo por (x + 3) (x-5).
  - Primeiro, vamos multiplicar o numerador: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)
    - = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    - = (x-5) + (x (x - 2x - 15)) - (10 (x - 2x - 15))
    - = (x-5) + (x - 2x - 15x) - (10x - 20x - 150)
    - = (x-5) + x - 12x + 5x + 150
    - = x - 12x + 6x + 145
Multiplique o denominador da fração empilhada pelo kgd, como fez com o numerador. Multiplique a fração empilhada pelo kgd que você encontrou indo para o denominador. Multiplique cada termo pelo kgd.
- O denominador da nossa fração empilhada, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), é x +4 + (( 1) / (x-5)). Vamos multiplicar isso pelo kgd que encontramos, (x + 3) (x-5).
  - (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  - = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  - = x (x - 2x - 15) + 4 (x - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  - = x - 2x - 15x + 4x - 8x - 60 + (x + 3)
  - = x + 2x - 23x - 60 + (x + 3)
  - = x + 2x - 22x - 57
Forme uma nova fração simplificada do numerador e denominador que você acabou de encontrar. Depois de multiplicar sua fração pela expressão (kgd) / (kgd) e simplificá-la cancelando os termos semelhantes, você deve ficar com uma fração simples que não contém termos fracionários. Como você deve ter notado, os denominadores dessas frações se cancelam (multiplicando as frações na fração empilhada original pelo kgd), deixando termos variáveis e inteiros no numerador e denominador de sua resposta, mas não fraturas.
- Usando o numerador e o denominador que encontramos acima, podemos construir uma fração que é igual à nossa fração inicial empilhada, mas não contém frações. O numerador que obtivemos foi x - 12x + 6x + 145 e o denominador foi x + 2x - 22x - 57, então a nova fração é: (x - 12x + 6x + 145) / (x + 2x - 22x - 57)

Pontas

Mostre cada etapa do seu trabalho. As frações podem ser confusas se você quiser ir muito rápido ou tentar memorizá-las.
Procure exemplos de frações empilhadas online ou em seu livro. Siga cada passo até pegar o jeito.