Contente

• Dar um passo
• Método 1 de 2: Arrancamento da raiz com fatores principais
• Método 2 de 2: Encontrar raízes quadradas sem calculadora
• Com longa divisão
• Entenda o procedimento
• Pontas
• Avisos

Antes do advento das calculadoras, tanto alunos quanto professores tinham que calcular raízes quadradas com caneta e papel. Várias técnicas foram desenvolvidas na época para lidar com esse trabalho às vezes difícil, algumas das quais fornecem uma estimativa aproximada e outras calculam o valor exato. Continue lendo para aprender como encontrar a raiz quadrada de um número em algumas etapas fáceis.

Dar um passo

Método 1 de 2: Arrancamento da raiz com fatores principais

1. Divida seu número em fatores de potência. Este método usa os fatores de um número para encontrar a raiz quadrada de um número (dependendo do número, pode ser uma resposta exata ou uma estimativa). O fatores de um determinado número são quaisquer sequências de números que são multiplicados juntos para formar aquele número particular. Por exemplo, você pode dizer que os fatores de 8 são iguais a 2 e 4 porque 2 × 4 = 8. Os quadrados perfeitos, por outro lado, são inteiros que são o produto de outros inteiros. Por exemplo, 25, 36 e 49 são quadrados perfeitos porque são iguais a 5, 6 e 7. Fatores de segunda potência, como você deve ter entendido, são fatores que também são quadrados perfeitos. Para encontrar uma raiz quadrada usando fatores primos, primeiro tente dividir o número em seus segundos fatores de potência.
   • Veja o seguinte exemplo. Encontraremos a raiz quadrada de 400. Para começar, dividimos o número em fatores de potência. Como 400 é um múltiplo de 100, sabemos que é igualmente divisível por 25 - um quadrado perfeito. A mecânica rápida nos diz que 400/25 = 16,16 também é um quadrado perfeito. Portanto, os fatores de cubo de 400 são 25 e 16 porque 25 × 16 = 400.
   • Escrevemos isso como: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Pegue as raízes quadradas de seus fatores de segunda potência. A regra do produto de raízes quadradas afirma que, para qualquer número dado uma e b, Quadrado (a × b) = Quadrado (a) × Quadrado (b). Por causa dessa propriedade, podemos agora pegar as raízes quadradas dos fatores dos quadrados e multiplicá-los para obter a resposta.
   • Em nosso exemplo, pegamos as raízes quadradas de 25 e 16. Veja abaixo:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Quadrado (25) × Quadrado (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Se o seu número não puder ser contabilizado perfeitamente, simplifique-o. Na realidade, os números dos quais você deseja determinar as raízes quadradas não serão bons números arredondados com bons quadrados como 400. Nesses casos, pode não ser possível obter um número inteiro como resposta. Em vez disso, usando todos os fatores de poder que encontrar, você pode determinar a resposta como uma raiz quadrada menor e mais fácil de usar. Você faz isso reduzindo o número a uma combinação de fatores de potência e outros fatores e, em seguida, simplificando-o.
   • Tomamos a raiz quadrada de 147 como exemplo. 147 não é o produto de dois quadrados perfeitos, portanto, não podemos obter um valor inteiro bom. Mas é o produto de um quadrado perfeito e outro número - 49 e 3. Podemos usar essas informações para escrever nossa resposta nos termos mais simples:
     • Sqrt (147)
     • = Quadrado (49 × 3)
     • = Quadrado (49) × Quadrado (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Simplifique, se necessário. Usando a raiz quadrada nos termos mais simples, geralmente é bastante fácil obter uma estimativa grosseira da resposta estimando as raízes quadradas restantes e multiplicando-as. Uma maneira de melhorar suas estimativas é encontrar os quadrados perfeitos em cada lado do número em sua raiz quadrada. Você sabe que o valor decimal do número em sua raiz quadrada está em algum lugar entre esses dois números, portanto, seu palpite também deverá estar entre esses números.
   • Voltemos ao nosso exemplo. Como 2 = 4 e 1 = 1, sabemos que Sqrt (3) está entre 1 e 2 - provavelmente mais perto de 2 do que 1. Estimamos que 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Se verificarmos isso com a calculadora, vemos que estamos bem próximos da resposta: 12,13.
     • Isso também funciona para números maiores. Por exemplo, sqrt (35) está aproximadamente entre 5 e 6 (provavelmente perto de 6). 5 = 25 e 6 = 36,35 está entre 25 e 36, então a raiz quadrada estará entre 5 e 6. Uma vez que 35 é um pouco abaixo de 36, podemos dizer com alguma confiança que a raiz quadrada dele somente é menor que 6. Verificar com uma calculadora nos dá uma resposta de cerca de 5,92 - estávamos certos.
5. Como alternativa, como primeira etapa, você pode simplificar o número para o mínimo múltiplo comum. A pesquisa de fatores de potência não é necessária se você puder encontrar facilmente os fatores primos de um número (fatores que também são números primos ao mesmo tempo). Escreva o número em termos de menos múltiplos comuns. Em seguida, procure entre seus fatores por pares correspondentes de números primos. Quando você encontrar dois fatores primos que correspondem, remova-os da raiz quadrada e coloque uma desses números fora do sinal de raiz quadrada.
   • Por exemplo, determinamos a raiz quadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 = 9 × 5 e que 9 = 3 × 3. Portanto, podemos escrever a raiz quadrada assim: Sqrt (3 × 3 × 5). Simplesmente exclua os 3 e coloque um 3 fora da raiz quadrada para obter uma raiz quadrada simplificada: (3) Quadrado (5). Agora você pode facilmente fazer uma estimativa.
   • Um exemplo final; nós determinamos a raiz quadrada de 88:
     • Sqrt (88)
     • = Quadrado (2 × 44)
     • = Quadrado (2 × 4 × 11)
     • = Quadrado (2 × 2 × 2 × 11). Temos vários 2 em nossa raiz quadrada. Como 2 é primo, podemos remover um par e colocar um 2 fora da raiz.
     • = Nossa raiz quadrada em termos mais simples é (2) Sqrt (2 × 11) ou (2) Quadrado (2) Quadrado (11). Agora podemos abordar Sqrt (2) e Sqrt (11) e encontrar uma resposta aproximada, se quisermos.

Método 2 de 2: Encontrar raízes quadradas sem calculadora

Com longa divisão

1. Divida os dígitos do seu número em pares. Este método é semelhante à divisão longa, que permite dividir o exato raiz quadrada de um número dígito por dígito. Embora não seja essencial, dividir um número em partes viáveis ​​pode tornar a resolução mais fácil, especialmente se for longo. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo a área de trabalho em 2 áreas, depois uma linha mais curta perto do topo da área direita, dividindo-a em uma parte superior menor e uma parte maior abaixo. Em seguida, divida o número em pares de números, começando pela vírgula decimal. De acordo com essa regra, 79520789182,47897 torna-se "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Escreva este número na área superior esquerda.
   • Como exemplo, vamos calcular a raiz quadrada de 780,14. Divida seu espaço de trabalho conforme descrito acima e escreva "7 80, 14" no canto superior esquerdo. Tudo bem se houver apenas um número na extrema esquerda, em vez de dois. Em seguida, você escreve a resposta (a raiz quadrada de 780,14) no topo da área direita.
2. Encontre o maior inteiro n cujo quadrado é menor ou igual ao dígito ou número da extrema esquerda. Encontre o maior quadrado que é menor ou igual a esse número e, em seguida, encontre a raiz quadrada desse quadrado. Este número é n. Escreva isso na área superior direita e escreva o quadrado de n no quadrante inferior dessa área.
   • Em nosso exemplo, o dígito mais à esquerda é o número 7. Como sabemos que 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, podemos dizer que n = 2 porque este é o maior inteiro cujo quadrado é menor ou igual a 7. Escreva 2 no quadrante superior direito. Este é o primeiro dígito da resposta. Escreva 4 (o quadrado de 2) no quadrante inferior direito. Este número é importante para a próxima etapa.
3. Subtraia o número que você calculou do dígito ou número mais à esquerda. Como na divisão longa, o próximo passo é subtrair o quadrado do número que acabamos de usar para o cálculo. Escreva este número sob o número mais à esquerda e subtraia-os. Escreva a resposta abaixo.
   • Em nosso exemplo, escrevemos 4 sob 7 e o subtraímos. Isto dá 3 em resposta.
4. Mova o próximo número para baixo. Coloque-o próximo ao valor que você encontrou na edição anterior. Multiplique o número no canto superior direito por dois e escreva-o no canto inferior direito. Deixe um espaço ao lado do número que você acabou de escrever para a soma que fará na próxima etapa. Escreva aqui "_ × _ =" ".
   • Em nosso exemplo, o próximo número é "80". Escreva "80" próximo ao 3 no quadrante esquerdo. Em seguida, multiplique o número no canto superior direito por 2. Esse número é 2, então 2 × 2 = 4. Escreva "4" "no canto inferior direito, seguido por _×_=.
5. Digite os números à direita. No espaço em branco da soma (direita), digite o maior número inteiro que tornará o resultado da soma da multiplicação à direita menor ou igual ao número atual à esquerda.
   • Em nosso exemplo, inserimos 8 e isso resulta em 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Isso é maior que 380. Portanto, 8 é muito grande, mas 7 provavelmente não é. Preencha 7 e resolva: 4 (7) × 7 = 329. 7 é bom porque 329 é menos que 380. Escreva 7 no canto superior direito. Este é o segundo dígito na raiz quadrada de 780,14.
6. Subtraia o número que você acabou de calcular do número atual à esquerda. Portanto, você subtrai o resultado da multiplicação à direita da resposta atual à esquerda. Escreva sua resposta diretamente abaixo dela.
   • Em nosso exemplo, subtraímos 329 de 380, e isso dá 51 como resultado.
7. Repita a etapa 4. Mova o próximo par de números para baixo de 780,14. Quando você chegar a uma vírgula, escreva-a na resposta à direita. Em seguida, multiplique o número superior direito por 2 e escreva a resposta ao lado de ("_ × _") como acima.
   • Em nossa resposta, agora escrevemos uma vírgula porque também encontramos isso em 780.14. Mova o próximo par (14) para baixo no quadrante esquerdo. 27 x 2 = 54, então escrevemos "54 _ × _ =" no quadrante inferior direito.
8. Repita as etapas 5 e 6. Encontre o maior número que fornece uma resposta menor ou igual ao número atual à esquerda. Resolver.
   • Em nosso exemplo, 549 × 9 = 4941, que é menor ou igual ao número à esquerda (5114). 549 × 10 = 5490, que é muito alto, então 9 é nossa resposta. Escreva 9 como o próximo número superior direito e subtraia o resultado da multiplicação do número esquerdo: 5114 -4941 = 173.
9. Para tornar o resultado preciso, repita o procedimento anterior até encontrar a resposta com o número de casas decimais (centésimos, milésimos) que você precisa.

Entenda o procedimento

1. Considere o número cuja raiz quadrada você deseja calcular como a área S de um quadrado. Como a área de um quadrado é L, onde L é o comprimento de um de seus lados, então, encontrando a raiz quadrada do seu número, você tenta calcular o comprimento L do lado desse quadrado.
2. Dê uma carta a cada dígito de sua resposta. Insira a variável A como o primeiro dígito de L (a raiz quadrada que estamos tentando calcular). B é o segundo dígito, C o terceiro e assim por diante.
3. Dê uma letra para cada "par de números" do número com o qual você começa. Dê a variável S_uma ao primeiro par de dígitos em S (o valor inicial), S._b para o segundo par de dígitos, etc.
4. Compreenda a relação entre este método e a divisão longa. Este método de encontrar uma raiz quadrada é essencialmente uma divisão longa, onde você divide o valor inicial por sua raiz quadrada e "dá" a raiz quadrada como a resposta. Como na divisão longa, em que você está interessado apenas no próximo dígito de cada vez, você está interessado apenas nos próximos dois dígitos de cada vez (que correspondem ao próximo dígito da raiz quadrada).
5. Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a S._uma é. O primeiro dígito A em nossa resposta é então o maior inteiro cujo quadrado não é maior que S._uma (A tal que A² ≤ Sa (A + 1) ²). Em nosso exemplo, S_uma = 7 e 2² ≤ 7 3², então A = 2.
   • Observe que se você dividir 88962 por 7 usando a divisão longa, o primeiro passo é igual: primeiro você lida com o primeiro dígito de 88962 (8) e quer o maior dígito multiplicado por 7 que seja menor ou igual a 8. Essencialmente, você determinar d de modo que 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Nesse caso, d é igual a 1.
6. Visualize o quadrado cuja área você deseja localizar. Sua resposta, a raiz quadrada do valor inicial, é L, que descreve o comprimento de um quadrado com área S (o valor inicial). Os valores para A, B e C representam os dígitos no valor L. Outra maneira de dizer isso é que para uma resposta de 2 dígitos, 10A + B = L, e para uma resposta de 3 dígitos, 100A + 10B + C = L e assim por diante.
   • Em nosso exemplo (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Lembre-se de que 10A + B representa nossa resposta L junto com B na posição das unidades e A na posição das dezenas. Por exemplo, se A = 1 e B = 2, então 10A + B é o número 12. (10A + B) ² é a área de toda a praça, enquanto 100A² é a área do maior quadrado interno, B² é a área do menor quadrado e 10A × B é a área de cada um dos retângulos restantes. Por meio desse procedimento longo e complicado, podemos encontrar a área de todo o quadrado adicionando as áreas dos quadrados e retângulos que fazem parte dele.
7. Subtraia A² de S._uma. Traga um par de números (S._b) abaixo do número S. S._uma S._b é quase a área total do quadrado, da qual você acabou de subtrair a área do maior quadrado interno. O restante é, digamos, o número N1, que obtivemos na etapa 4 (N1 = 380 em nosso exemplo). N1 é igual a 2 × 10A × B + B² (a área dos 2 retângulos mais a área do pequeno quadrado).
8. Observe N1 = 2 × 10A × B + B², também escrito como N1 = (2 × 10A + B) × B. Em nosso exemplo, você já conhece N1 (380) e A (2), então agora você precisa encontrar B. B provavelmente não é um número inteiro, então você deve na realidade encontre o maior inteiro B, tal que (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Então agora você tem: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Resolva a equação. Para resolver esta equação, multiplique A por 2, mude para dez (multiplique por 10), coloque B nas unidades e multiplique o resultado por B. Em outras palavras, (2 × 10A + B) × B. Isso é exatamente o que você faz quando escreve "N_ × _ =" (com N = 2 × A) no quadrante inferior direito na etapa 4. Na etapa 5, você determina o maior inteiro B que se ajusta abaixo da linha, portanto (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Subtraia a área (2 × 10A + B) × B da área total. Isso dá a área S- (10A + B) ² que você ainda não levou em consideração (e que você usa para calcular os seguintes números da mesma maneira).
11. Para calcular o próximo dígito C, repita o procedimento. Mova o próximo par de números de S para baixo (S_c) para obter N2 à esquerda e procurar o maior C para que agora você tenha: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (igual a duas vezes o número de dois dígitos "AB" seguido por "_ × _ =" Agora determine o maior número que você pode inserir aqui, que lhe dará uma resposta que é menor ou igual a N2.

Pontas

• Mover a vírgula em duas casas (um fator de 100) move a vírgula na raiz quadrada correspondente em uma casa (um fator de 10).
• No exemplo, 1,73 pode ser considerado "resto": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Este método funciona para qualquer sistema numérico, não apenas o sistema decimal (decimal).
• Sinta-se à vontade para colocar os cálculos onde desejar. Algumas pessoas escrevem acima do número do qual desejam calcular a raiz quadrada.
• Um método alternativo é o seguinte: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de 780,14, pegue o número inteiro cujo quadrado é mais próximo de 780,14 (28), então = 780,14, x = 28 ey = -3,86. Preencher e estimar nos dá x + y / (2x) e isso dá (termos simplificados) 78207/2800 ou cerca de 27,931 (1); o seguinte termo, 4374188/156607 ou cerca de 27,930986 (5). Cada termo adiciona cerca de 3 casas decimais de precisão ao anterior.

Avisos

• Certifique-se de dividir o número em pares a partir do ponto decimal. Dividindo 79520789182.47897 como "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "dá um resultado incorreto.