Contente

• Dar um passo
• Método 1 de 3: Determine a área usando os lados e o apótema
• Método 2 de 3: Determinar a área usando o comprimento de um lado
• Método 3 de 3: usando uma fórmula
• Pontas

Um pentágono é um polígono com cinco lados retos. Quase todos os problemas que você encontrará nas aulas de matemática envolverão pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Existem duas maneiras comuns de calcular a área, dependendo da quantidade de informações que você possui.

Dar um passo

Método 1 de 3: Determine a área usando os lados e o apótema

1. Comece com o comprimento da lateral e apótema. Este método funciona para pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Além do comprimento da lateral, você precisa do "apótema" do pentágono. O apótema é a linha do centro do pentágono até um lado que cruza o lado perpendicularmente (ou seja, em um ângulo de 90º).
   • Não confunda o apótema com o raio de um polígono, porque ele cruza um ângulo (vértice) em vez de um ponto no centro do lado. Se você conhece apenas o comprimento de um lado e o raio, passe para o próximo método.
   • Usamos um pentágono com lado como exemplo 3 e apotem 2.
2. Divida o pentágono em cinco triângulos. Desenhe cinco linhas do centro do pentágono, cada uma levando a um vértice (canto). Agora você tem cinco triângulos.
3. Calcule a área de um triângulo. Cada triângulo tem um base igual ao lado do pentágono. Também tem um altura que é igual ao apótema. (Lembre-se de que a altura de um triângulo é o comprimento do lado perpendicular à base e que se estende até um vértice). Para calcular a área de um triângulo, use ½ x base x altura.
   • Em nosso exemplo, a área do triângulo é = ½ x 3 x 2 =3.
4. Multiplique por cinco para obter a área total do pentágono. Dividimos o pentágono em cinco triângulos iguais. Para calcular a área total, multiplique a área de um triângulo por cinco.
   • Em nosso exemplo, A (total do pentágono) = 5 x A (triângulo) = 5 x 3 =15.

Método 2 de 3: Determinar a área usando o comprimento de um lado

1. Comece com o comprimento de um lado. Este método funciona apenas para pentágonos regulares, que têm cinco lados de igual comprimento.
   • Neste exemplo, usaremos um pentágono com comprimento 7 para cada lado.
2. Divida o pentágono em cinco triângulos. Desenhe uma linha do centro do pentágono até um vértice. Repita isso para cada vértice. Agora você tem cinco triângulos, cada um do mesmo tamanho.
3. Divida um triângulo ao meio. Desenhe uma linha do centro do pentágono à base de um triângulo. Esta linha deve cruzar a base em um ângulo reto (90º), que divide o triângulo em dois triângulos iguais e menores.
4. Identifique um dos triângulos menores. Já podemos rotular um lado e um ângulo do triângulo menor:
   • O base do triângulo é ½ vezes o lado do pentágono. Em nosso exemplo, isso é ½ x 7 = 3,5 unidades.
   • O ângulo no centro do pentágono está sempre 36º. (Assumindo 360º para um círculo completo, você pode dividir isso em 10 triângulos menores. 360 ÷ 10 = 36, então o ângulo de tal triângulo é 36º).
5. Calcule a altura do triângulo. O altura o lado desse triângulo é perpendicular ao lado do pentágono que leva ao centro. Usamos trigonometria simples para determinar o comprimento deste lado:
   • Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo igual ao comprimento do lado oposto dividido pelo comprimento do lado adjacente.
   • O lado oposto ao ângulo de 36º é a base do triângulo (metade do lado do pentágono). O lado adjacente do ângulo de 36º é a altura do triângulo.
   • tan (36º) = oposto / adjacente
   • Em nosso exemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
   • altura x bronzeado (36º) = 3,5
   • altura = 3,5 / bronzeado (36º)
   • altura = (aproximadamente) 4,8 .
6. Calcule a área do triângulo. A área de um triângulo é igual a ½ base x sua altura. (A = ½bh.) Agora que você sabe a altura, insira esses valores para determinar a altura do seu pequeno triângulo.
   • Em nosso exemplo, a área de um dos pequenos triângulos = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4.
7. Multiplique para encontrar a área do pentágono. Um desses triângulos menores cobre 1/10 da área do pentágono. Para a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.
   • Em nosso exemplo, a área de todo o pentágono é = 8,4 x 10 =84.

Método 3 de 3: usando uma fórmula

1. Use o esboço e um nome. O apótema é uma linha do centro de um pentágono que cruza um lado em ângulos retos. Se o comprimento for fornecido, você pode usar esta fórmula simples.
   • Área de um pentágono regular =Papai / 2, onde p= a circunferência e uma= o apótema.
   • Se você não sabe a circunferência, calcule usando o comprimento do lado: p = 5s, onde s é o comprimento do lado.
2. Use o comprimento da lateral. Se você só sabe o comprimento dos lados, use a seguinte fórmula:
   • Área de um pentágono regular = (5s ) / (4tan (36º)), onde s= comprimento de um lado.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Se sua calculadora não tiver uma função tan, use a fórmula para a área: Área = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Escolha uma fórmula que use apenas o raio. Você pode até encontrar a área se conhecer apenas o raio. Use a seguinte fórmula:
   • A área de um pentágono regular = (5/2)rsin (72º), onde r o raio é.

Pontas

• Pentágonos irregulares ou pentágonos com lados desiguais são mais difíceis de estudar. A melhor abordagem geralmente é dividir o pentágono em triângulos e adicionar as áreas de todos os triângulos. Você também pode precisar desenhar uma forma maior ao redor do pentágono, calcular sua área e, em seguida, subtrair a área do espaço extra.
• Se possível, use um método geométrico e uma fórmula e compare os resultados para verificar sua resposta. As respostas podem ser ligeiramente diferentes se você preencher a fórmula completamente de uma vez (porque as etapas em que você termina estão faltando), mas elas devem estar muito próximas umas das outras.
• Os exemplos fornecidos aqui usam valores arredondados para facilitar a matemática. Se você tiver um polígono verdadeiro com os comprimentos laterais fornecidos, obterá resultados ligeiramente diferentes para os outros comprimentos e a área.
• As fórmulas são derivadas de métodos geométricos, semelhantes aos descritos aqui. Tente descobrir como deduzi-los sozinho. A fórmula do raio é mais difícil de derivar do que as outras (dica: você precisa da identidade de ângulo duplo).