Como transpor uma matriz

Contente

Passos
Parte 1 de 3: Transponha a matriz
Parte 2 de 3: Propriedades de Transposição
Parte 3 de 3: Matriz conjugada hermitiana com elementos complexos
Pontas

Se você aprender a transpor matrizes, terá um melhor entendimento de sua estrutura. Você já deve conhecer matrizes quadradas e sua simetria para ajudá-lo a dominar a transposição. Entre outras coisas, a transposição ajuda a transformar vetores em forma de matriz e encontrar produtos de vetor. Ao trabalhar com matrizes complexas, as matrizes Hermitianas-conjugadas (conjugadas-transpostas) podem ajudá-lo a resolver uma variedade de problemas.

Passos

Parte 1 de 3: Transponha a matriz

1 Pegue qualquer matriz. Qualquer matriz pode ser transposta, independentemente do número de linhas e colunas. Na maioria das vezes é necessário transpor matrizes quadradas que possuem o mesmo número de linhas e colunas, portanto, para simplificar, considere a seguinte matriz como exemplo:
- o Matrix UMA =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2 Imagine a primeira linha de uma matriz direta como a primeira coluna da matriz transposta. Basta escrever a primeira linha como uma coluna:
- matriz transposta = A
- primeira coluna da matriz A:
  1
  2
  3
3 Faça o mesmo para o resto das linhas. A segunda linha da matriz original se tornará a segunda coluna da matriz transposta. Traduzir todas as linhas em colunas:
- UMA =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4 Tente transpor uma matriz não quadrada. Qualquer matriz retangular pode ser transposta da mesma maneira. Basta escrever a primeira linha como a primeira coluna, a segunda linha como a segunda coluna e assim por diante. No exemplo abaixo, cada linha da matriz original é marcada com sua própria cor para deixar mais claro como ela é transformada quando transposta:
- o Matrix Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- o Matrix Z =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5 Vamos expressar a transposição na forma de uma notação matemática. Embora a ideia de transposição seja muito simples, é melhor escrevê-la como uma fórmula estrita. A notação de matriz não requer termos especiais:
- Suponha que dada uma matriz B consistindo em m x n elementos (m linhas en colunas), então a matriz transposta B é um conjunto de n x m elementos (n linhas em colunas).
- Para cada elemento b_xy (linha x e coluna y) da matriz B na matriz B existe um elemento equivalente b_yx (linha y e coluna x).

Parte 2 de 3: Propriedades de Transposição

1 (M = M. Após a dupla transposição, a matriz original é obtida. Isso é bastante óbvio, pois quando você transpõe novamente, você altera as linhas e colunas novamente, resultando na matriz original.
2 Espelhe a matriz em torno da diagonal principal. Matrizes quadradas podem ser "invertidas" em relação à diagonal principal. Além disso, os elementos ao longo da diagonal principal (de um₁₁ para o canto inferior direito da matriz) permanecem no lugar, e o resto dos elementos movem-se para o outro lado desta diagonal e permanecem à mesma distância dela.
- Se você achar difícil imaginar esse método, pegue um pedaço de papel e desenhe uma matriz 4x4. Em seguida, reorganize seus elementos laterais em relação à diagonal principal. Ao mesmo tempo, rastreie os elementos de um₁₄ e um₄₁... Quando transpostos, eles devem ser trocados como outros pares de elementos laterais.
3 Transponha a matriz simétrica. Os elementos dessa matriz são simétricos em relação à diagonal principal. Se você fizer a operação acima e "inverter" a matriz simétrica, ela não mudará. Todos os elementos serão alterados para semelhantes. Na verdade, essa é a maneira padrão de determinar se uma determinada matriz é simétrica. Se a igualdade A = A for mantida, então a matriz A é simétrica.

Parte 3 de 3: Matriz conjugada hermitiana com elementos complexos

1 Considere uma matriz complexa. Os elementos de uma matriz complexa são compostos por partes reais e imaginárias. Essa matriz também pode ser transposta, embora na maioria das aplicações práticas matrizes transpostas por conjugado ou conjugadas de Hermit são usadas.
- Seja dada uma matriz C =
  2+eu 3-2eu
  0+eu 5+0eu
2 Substitua os elementos por números conjugados complexos. Na operação de conjugação complexa, a parte real permanece a mesma, e a parte imaginária muda seu sinal para o oposto. Vamos fazer isso com todos os quatro elementos da matriz.
- encontre a matriz de conjugado complexo C * =
  2-eu 3+2eu
  0-eu 5-0eu
3 Transpomos a matriz resultante. Pegue a matriz de conjugado complexo encontrada e simplesmente transponha-a. Como resultado, obtemos uma matriz transposta por conjugado (conjugado Hermitiano).
- a matriz conjugada-transposta C =
  2-eu 0-eu
  3+2eu 5-0eu

Pontas

Neste artigo, a matriz transposta em relação à matriz A é denotada como A. Há também a notação A 'ou Ã.
Neste artigo, a matriz conjugada de Hermit com relação à matriz A é denotada como A, que é uma notação comum em álgebra linear. Na mecânica quântica, a notação A é freqüentemente usada.Às vezes, uma matriz conjugada hermitiana é escrita na forma A *, mas é melhor evitar essa notação, uma vez que também é usada para escrever uma matriz conjugada complexa.