Contente

• Passos
• Método 1 de 3: como encontrar o lado desconhecido
• Método 2 de 3: Encontrando um ângulo desconhecido
• Método 3 de 3: Amostra de problemas
• Pontas

O teorema do cosseno é amplamente usado em trigonometria. É usado ao trabalhar com triângulos irregulares para encontrar quantidades desconhecidas, como lados e ângulos. O teorema é semelhante ao teorema de Pitágoras e é bastante fácil de lembrar. O teorema do cosseno diz que em qualquer triângulo ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Passos

Método 1 de 3: como encontrar o lado desconhecido

1. 1 Anote os valores conhecidos. Para encontrar o lado desconhecido de um triângulo, você precisa conhecer os outros dois lados e o ângulo entre eles.
   • Por exemplo, dado um triângulo XYZ. O lado YX tem 5 cm, o lado YZ tem 9 cm e o ângulo Y é 89 °. Qual é o lado XZ?
2. 2 Escreva a fórmula do teorema do cosseno. Fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, Onde ${ displaystyle c}$ - parte desconhecida, ${ displaystyle cos {C}}$ - cosseno do ângulo oposto ao lado desconhecido, ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$ - dois lados bem conhecidos.
3. 3 Insira os valores conhecidos na fórmula. Variáveis ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$ denotam dois lados conhecidos. Variável ${ displaystyle C}$ é o ângulo conhecido que fica entre os lados ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$.
   • Em nosso exemplo, o lado XZ é desconhecido, então na fórmula é denotado como ${ displaystyle c}$... Uma vez que os lados YX e YZ são conhecidos, eles são denotados pelas variáveis ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$... Variável ${ displaystyle C}$ é o ângulo Y. Portanto, a fórmula será escrita da seguinte forma: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Encontre o cosseno de um ângulo conhecido. Faça isso com uma calculadora. Insira um valor de ângulo e clique em ${ displaystyle COS}$... Se você não tiver uma calculadora científica, encontre uma tabela de cosseno online, por exemplo, aqui. Também no Yandex, você pode inserir "cosseno de X graus" (substitua o valor do ângulo por X), e o mecanismo de pesquisa exibirá o cosseno do ângulo.
   • Por exemplo, o cosseno é 89 ° ≈ 0,01745. Então: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Multiplique os números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ pelo cosseno de um ângulo conhecido.
   • Por exemplo:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Dobre os quadrados dos lados conhecidos. Lembre-se de que para elevar ao quadrado um número, ele deve ser multiplicado por ele mesmo. Primeiro, eleve ao quadrado os números correspondentes e, em seguida, some os valores resultantes.
   • Por exemplo:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Subtraia dois números. Você encontrará ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Por exemplo:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Tire a raiz quadrada desse valor. Para fazer isso, use uma calculadora. É assim que você encontra o lado desconhecido.
   • Por exemplo:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104,4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10,2191}$
     Portanto, o lado desconhecido tem 10,2191 cm.

Método 2 de 3: Encontrando um ângulo desconhecido

1. 1 Anote os valores conhecidos. Para encontrar o ângulo desconhecido de um triângulo, você precisa conhecer todos os três lados do triângulo.
   • Por exemplo, dado um triângulo RST. Lado CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Encontre o valor do ângulo S.
2. 2 Escreva a fórmula do teorema do cosseno. Fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, Onde ${ displaystyle cos {C}}$ - cosseno de um ângulo desconhecido, ${ displaystyle c}$ - um lado conhecido oposto a um canto desconhecido, ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$ - duas outras festas famosas.
3. 3 Encontre os valores uma{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} e c{ displaystyle c}. Em seguida, conecte-os à fórmula.
   • Por exemplo, o lado RT é oposto ao ângulo desconhecido S, então o lado RT é ${ displaystyle c}$ na fórmula. Outras partes irão ${ displaystyle a}$ e ${ displaystyle b}$... Portanto, a fórmula será escrita da seguinte forma: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Multiplique os números. Multiplicar ${ displaystyle 2ab}$ pelo cosseno do ângulo desconhecido.
   • Por exemplo, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Ereto c{ displaystyle c} em um quadrado. Ou seja, multiplique o próprio número.
   • Por exemplo, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Dobre os quadrados uma{ displaystyle a} e b{ displaystyle b}. Mas, primeiro, eleve ao quadrado os números correspondentes.
   • Por exemplo:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Isole o cosseno do ângulo desconhecido. Para fazer isso, subtraia o valor ${ displaystyle a ^ {2}}$ e ${ displaystyle b ^ {2}}$ de ambos os lados da equação. Em seguida, divida cada lado da equação pelo fator no cosseno do ângulo desconhecido.
   • Por exemplo, para isolar o cosseno de um ângulo desconhecido, subtraia 164 de ambos os lados da equação e, em seguida, divida cada lado por -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Calcule o cosseno inverso. Isso encontrará o valor do ângulo desconhecido. Na calculadora, a função cosseno inversa é denotada ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Por exemplo, o arco cosseno de 0,0125 é 82,8192. Portanto, o ângulo S é 82,8192 °.

Método 3 de 3: Amostra de problemas

1. 1 Encontre o lado desconhecido do triângulo. Os lados conhecidos têm 20 cm e 17 cm, e o ângulo entre eles é de 68 °.
   • Como você tem dois lados e o ângulo entre eles, pode usar o teorema do cosseno. Escreva a fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • O lado desconhecido é ${ displaystyle c}$... Insira os valores conhecidos na fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Calcular ${ displaystyle c ^ {2}}$, observando a ordem das operações matemáticas:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação. É assim que você encontra o lado desconhecido:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434,2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20,8391}$
     Portanto, o lado desconhecido é 20,8391 cm.
2. 2 Encontre o ângulo H no triângulo GHI. Os dois lados adjacentes ao canto H têm 22 e 16 cm, enquanto o lado oposto ao canto H tem 13 cm.
   • Uma vez que todos os três lados são dados, o teorema do cosseno pode ser usado. Escreva a fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • O lado oposto ao canto desconhecido é ${ displaystyle c}$... Insira os valores conhecidos na fórmula: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Simplifique a expressão resultante:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Isole o cosseno:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
   • Encontre o cosseno inverso. É assim que você calcula o ângulo desconhecido:
     ${ displaystyle 0,8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35,7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Assim, o ângulo H é de 35,7985 °.
3. 3 Encontre o comprimento da trilha. Os caminhos do rio, Hilly e Marsh formam um triângulo. O comprimento da trilha do rio é de 3 km, o comprimento da trilha montanhosa é de 5 km; essas trilhas se cruzam em um ângulo de 135 °. A trilha do pântano conecta as duas pontas das outras trilhas. Encontre a extensão da Trilha do Pântano.
   • As trilhas formam um triângulo. Você precisa encontrar o comprimento do caminho desconhecido, que é o lado do triângulo. Uma vez que os comprimentos dos outros dois caminhos e o ângulo entre eles são dados, o teorema do cosseno pode ser usado.
   • Escreva a fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • O caminho desconhecido (Pântano) será denotado como ${ displaystyle c}$... Insira os valores conhecidos na fórmula: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Calcular ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21,2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21,2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação. É assim que você encontra o comprimento do caminho desconhecido:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55,2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7,4306}$
     Portanto, o comprimento da Trilha do Pântano é de 7,4306 km.

Pontas

• É mais fácil usar o teorema do seno. Portanto, primeiro descubra se ele pode ser aplicado ao problema em questão.