Como dividir matrizes

Vídeo: La división en matrices (con ejemplos)

Contente

Sumário breve
Passos
Parte 1 de 3: Testando a divisibilidade de matrizes
Parte 2 de 3: Encontrando a Matriz Inversa
Parte 3 de 3: multiplicação da matriz
Pontas
Avisos
Artigos adicionais

Se você sabe como multiplicar duas matrizes, pode começar a “dividir” as matrizes. A palavra “divisão” está entre aspas, porque as matrizes não podem ser realmente divididas. A operação de divisão é substituída pela operação de multiplicação de uma matriz por uma matriz que é o inverso da segunda matriz. Para simplificar, considere um exemplo com inteiros: 10 ÷ 5. Encontre o recíproco de 5: 5 ou /₅e, em seguida, substitua a divisão por multiplicação: 10 x 5; o resultado da divisão e multiplicação será o mesmo. Portanto, acredita-se que a divisão pode ser substituída pela multiplicação pela matriz inversa. Normalmente, esses cálculos são usados para resolver sistemas de equações lineares.

Sumário breve

Você não pode dividir matrizes. Em vez de dividir, uma matriz é multiplicada pelo inverso da segunda matriz. A "divisão" de duas matrizes [A] ÷ [B] é escrita da seguinte forma: [A] * [B] ou [B] * [A].
Se a matriz [B] não for quadrada ou se seu determinante for 0, anote "nenhuma solução inequívoca". Caso contrário, encontre o determinante da matriz [B] e vá para a próxima etapa.
Encontre o inverso: [B].
Multiplique as matrizes para encontrar [A] * [B] ou [B] * [A]. Lembre-se de que a ordem em que as matrizes são multiplicadas afeta o resultado final (ou seja, os resultados podem variar).

Passos

Parte 1 de 3: Testando a divisibilidade de matrizes

1 Compreenda a "divisão" de matrizes. Na verdade, as matrizes não podem ser divididas. Não existe operação matemática como “dividir uma matriz por outra”. A divisão é substituída pela multiplicação de uma matriz pelo inverso da segunda matriz. Ou seja, a notação [A] ÷ [B] não está correta, então ela é substituída pela seguinte notação: [A] * [B]. Visto que ambas as entradas são equivalentes no caso de valores escalares, teoricamente podemos falar sobre "divisão" de matrizes, mas ainda é melhor usar a terminologia correta.
- Observe que [A] * [B] e [B] * [A] são operações diferentes. Pode ser necessário realizar ambas as operações para encontrar todas as soluções possíveis.
- Por exemplo, em vez de ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 e 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ escreva ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 e 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Você pode ter que calcular ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 e 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}} }$ para obter um resultado diferente.
2 Certifique-se de que a matriz pela qual você está “dividindo” a outra matriz seja quadrada. Para inverter uma matriz (encontrar o inverso de uma matriz), ela deve ser quadrada, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Se a matriz invertida não for inversa, não há solução definitiva.
- Novamente, as matrizes não são "divisíveis" aqui. Na operação [A] * [B], a condição descrita refere-se à matriz [B]. Em nosso exemplo, esta condição se refere à matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 e 4 2 e 3 end {pmatrix}}}$
- Uma matriz que pode ser invertida é chamada de não degenerada ou regular. Uma matriz que não pode ser invertida é chamada degenerada ou singular.
3 Verifique se as duas matrizes podem ser multiplicadas. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz. Se esta condição não for atendida na entrada [A] * [B] ou [B] * [A], não há solução.
- Por exemplo, se o tamanho da matriz [A] é 4 x 3 e o tamanho da matriz [B] é 2 x 2, não há solução. Você não pode multiplicar [A] * [B] porque 4 ≠ 2, e você não pode multiplicar [B] * [A] porque 2 ≠ 3.
- Observe que a matriz inversa [B] sempre tem o mesmo número de linhas e colunas que a matriz original [B]. Não é necessário encontrar a matriz inversa para verificar se duas matrizes podem ser multiplicadas.
- Em nosso exemplo, o tamanho de ambas as matrizes é 2 x 2, portanto, elas podem ser multiplicadas em qualquer ordem.
4 Encontre o determinante da matriz 2 × 2. Lembre-se: você só pode inverter uma matriz se seu determinante não for zero (caso contrário, você não pode inverter a matriz). Veja como encontrar o determinante de uma matriz 2 x 2:
- Matriz 2 x 2: determinante de uma matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ é igual a ad - bc. Ou seja, do produto dos elementos da diagonal principal (passa pelos cantos superior esquerdo e inferior direito), subtraia os produtos dos elementos da outra diagonal (passa pelos cantos superior direito e inferior esquerdo).
- Por exemplo, o determinante da matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 e 4 2 e 3 end {pmatrix}}}$ é igual a (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. O determinante é diferente de zero, então esta matriz pode ser invertida.
5 Encontre o determinante da matriz maior. Se o tamanho da matriz for 3 x 3 ou mais, o determinante é um pouco mais difícil de calcular.
- Matriz 3 x 3: selecione qualquer item e risque a linha e a coluna em que ele está.Encontre o determinante da matriz 2 × 2 resultante e multiplique-o pelo elemento selecionado; especifique o sinal do determinante em uma tabela especial. Repita esse processo para os outros dois itens que estão na mesma linha ou coluna do item selecionado. Em seguida, encontre a soma dos (três) determinantes recebidos. Leia este artigo para obter mais informações sobre como encontrar o determinante de uma matriz 3 x 3.
- Matrizes grandes: o determinante de tais matrizes é melhor procurado com uma calculadora gráfica ou software. O método é semelhante ao método para encontrar o determinante de uma matriz 3 × 3, mas é um tanto tedioso aplicá-lo manualmente. Por exemplo, para encontrar o determinante de uma matriz 4 x 4, você precisa encontrar os determinantes de quatro matrizes 3 x 3.
6 Continue os cálculos. Se a matriz não for quadrada ou se seu determinante for igual a zero, escreva "nenhuma solução inequívoca", ou seja, o processo de cálculo está concluído. Se a matriz for quadrada e tiver um determinante diferente de zero, pule para a próxima seção.

Parte 2 de 3: Encontrando a Matriz Inversa

1 Troque os elementos da diagonal principal da matriz 2 x 2. Dada uma matriz 2 × 2, use o método inverso rápido. Primeiro, troque o elemento superior esquerdo e o elemento inferior direito. Por exemplo:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 e 4 2 e 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 e 4 2 e 7 end {pmatrix}}}$
- Observação: a maioria das pessoas usa calculadoras para inverter uma matriz 3 x 3 (ou maior). Se você precisar fazer isso manualmente, vá para o final desta seção.
2 Não troque os dois elementos restantes, mas mude seu sinal. Ou seja, multiplique o elemento superior direito e o elemento inferior esquerdo por -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 e 4 2 e 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 e -4 - 2 e 7 end {pmatrix}}}$
3 Encontre o recíproco do determinante. O determinante desta matriz foi encontrado na seção anterior, portanto não iremos calculá-lo novamente. O inverso do determinante é escrito da seguinte forma: 1 / (determinante):
- Em nosso exemplo, o determinante é 13. Valor reverso: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Multiplique a matriz resultante pelo recíproco do determinante. Multiplique cada elemento da nova matriz pelo inverso do determinante. A matriz final será o inverso da matriz 2 x 2 original:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 e -4 - 2 e 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Verifique se os cálculos estão corretos. Para fazer isso, multiplique a matriz original pelo seu inverso. Se os cálculos estiverem corretos, o produto da matriz original pelo inverso dará a matriz identidade: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 e 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Se o teste for bem-sucedido, prossiga para a próxima seção.
- Em nosso exemplo: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Para obter mais informações sobre como multiplicar matrizes, leia este artigo.
- Nota: a operação de multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, a ordem das matrizes é importante. Mas quando a matriz original é multiplicada por seu inverso, qualquer ordem leva à matriz identidade.
6 Encontre o inverso de uma matriz 3 x 3 (ou maior). Se você já está familiarizado com este processo, é melhor usar uma calculadora gráfica ou um software especial. Se você precisar encontrar a matriz inversa manualmente, o processo é brevemente descrito abaixo:
- Junte-se à matriz de identidade I no lado direito da matriz original. Por exemplo, [B] → [B | EU]. Para a matriz de identidade, todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a 0.
- Simplifique a matriz para que seu lado esquerdo fique escalonado; continue simplificando para que o lado esquerdo se torne a matriz de identidade.
- Após a simplificação, a matriz assumirá a seguinte forma: [I | B]. Ou seja, seu lado direito é o inverso da matriz original.

Parte 3 de 3: multiplicação da matriz

1 Escreva duas expressões possíveis. A operação de multiplicação de dois escalares é comutativa, ou seja, 2 x 6 = 6 x 2.Este não é o caso no caso da multiplicação de matrizes, então você pode ter que resolver duas expressões:
- x = [A] * [B] é a solução para a equação x[B] = [A].
- x = [B] * [A] é a solução para a equação [B]x = [A].
- Execute cada operação matemática em ambos os lados da equação. Se [A] = [C], então [B] [A] ≠ [C] [B] porque [B] está à esquerda de [A], mas à direita de [C].
2 Determine o tamanho da matriz final. O tamanho da matriz final depende do tamanho das matrizes multiplicadas. O número de linhas na matriz final é igual ao número de linhas na primeira matriz e o número de colunas na matriz final é igual ao número de colunas na segunda matriz.
- Em nosso exemplo, o tamanho de ambas as matrizes ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}}}$ e ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ é 2 x 2, então o tamanho da matriz original será 2 x 2.
- Considere um exemplo mais complexo: se o tamanho da matriz [A] é 4 x 3, e o tamanho da matriz [B] é 3 x 3, então a matriz final [A] * [B] será 4 x 3.
3 Encontre o valor do primeiro elemento. Leia este artigo ou lembre-se das seguintes etapas básicas:
- Para encontrar o primeiro elemento (primeira linha, primeira coluna) da matriz final [A] [B], calcule o produto escalar dos elementos da primeira linha da matriz [A] e os elementos da primeira coluna da matriz [B ] No caso de uma matriz 2 x 2, o produto escalar é calculado da seguinte forma: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Em nosso exemplo: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Assim, o primeiro elemento da matriz final será o elemento:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Continue calculando produtos escalares para encontrar cada elemento da matriz final. Por exemplo, o elemento localizado na segunda linha e na primeira coluna é igual ao produto escalar da segunda linha da matriz [A] e a primeira coluna da matriz [B]. Tente encontrar os itens restantes você mesmo. Você deve obter os seguintes resultados:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 e 26 39 e 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Se você precisar encontrar outra solução: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 e 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 fim {pmatrix}}}$

Pontas

A matriz pode ser dividida em um escalar; para isso, cada elemento da matriz é dividido por um escalar.
- Por exemplo, se a matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 e 8 2 e 4 end {pmatrix}}}$ dividido por 2, você obtém a matriz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 e 4 1 e 2 end {pmatrix}}}$

Avisos

A calculadora nem sempre fornece resultados absolutamente precisos quando se trata de cálculos de matrizes. Por exemplo, se a calculadora afirma que o item é um número muito pequeno (como 2E), o valor provavelmente é zero.