Fator de equações quadráticas

Contente

Dar um passo
O início
Método 1 de 6: tentativa e erro
Método 2 de 6: Decomposição
Método 3 de 6: Triple Play
Método 4 de 6: a diferença entre dois quadrados
Método 5 de 6: a fórmula ABC
Método 6 de 6: usando uma calculadora
Pontas
Avisos
Necessidades

Um polinômio contém uma variável (x) para uma certa potência e vários termos e / ou constantes. Para fatorar um polinômio, você terá que dividir a expressão em expressões menores que são multiplicadas juntas. Isso requer um certo nível de matemática e, portanto, pode ser difícil de entender se você ainda não estiver tão longe.

Dar um passo

O início

A equação. O formato padrão para uma equação quadrática é:

ax + bx + c = 0
Comece organizando os termos em sua equação da maior para a menor potência. Por exemplo, pegue:

6 + 6x + 13x = 0
Vamos reordenar esta expressão para que se torne mais fácil de trabalhar - simplesmente movendo os termos:

6x + 13x + 6 = 0
Encontre os fatores usando um dos métodos abaixo. Fatorar o polinômio resultará em duas expressões menores que podem ser multiplicadas juntas para obter o polinômio original:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Neste exemplo, (2x +3) e (3x + 2) são fatores da expressão original, 6x + 13x + 6.
Verifique seu trabalho! Multiplique os fatores que você encontrou. Combine os mesmos termos e pronto. Começar com:

(2x + 3) (3x + 2)
Vamos testar isso, multiplicando os termos usando EBBL (primeiro - externo - interno - último), que nos dá:

6x + 4x + 9x + 6
Agora somamos 4x e 9x porque são termos iguais. Sabemos que os fatores estão corretos porque recuperamos a equação com a qual começamos:

6x + 13x + 6

Método 1 de 6: tentativa e erro

Se você tiver um polinômio bastante simples, poderá ver quais são os fatores imediatamente. Por exemplo, depois de alguma prática, muitos matemáticos são capazes de ver a expressão 4x + 4x + 1 tem os fatores (2x + 1) e (2x + 1) simplesmente porque eles já viram isso tantas vezes. (Obviamente, isso não será tão fácil com polinômios mais complicados.) Vamos usar uma expressão menos padrão para este exemplo:

3x + 2x - 8

Escreva os fatores do uma prazo e o c prazo. Use o formato ax + bx + c = 0, reconheça o uma e c termos e observe quais fatores existem. Para 3x + 2x - 8, isso significa:

a = 3 e tem 1 par de fatores: 1 * 3
c = -8 e tem 4 pares de fatores: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 e -1 * 8.
Escreva dois pares de parênteses com um espaço vazio. Aqui você insere as constantes de cada expressão:

(x) (x)
Preencha o espaço antes dos x com uma série de fatores possíveis do uma valor. Para o uma termo em nosso exemplo, 3x, há apenas 1 possibilidade:

(3x) (1x)
Preencha os 2 espaços após os x com alguns fatores para as constantes. Suponha que escolhamos 8 e 1. Insira isto:

(3x8) (X1)
Determine quais sinais (mais ou menos) devem estar entre as variáveis x e os números. Dependendo dos caracteres da expressão original, é possível descobrir quais deveriam ser os caracteres das constantes. Vamos pegar as duas constantes dos dois fatores h e k mencionar:

Se ax + bx + c, então (x + h) (x + k)
Se ax - bx - c ou ax + bx - c, então (x - h) (x + k)
Se ax - bx + c, então (x - h) (x - k)
Em nosso exemplo, 3x + 2x - 8, o sinal é: (x - h) (x + k), o que nos dá os seguintes dois fatores:

(3x + 8) e (x - 1)
Teste sua escolha com a multiplicação primeiro-externo-interno-último. Um primeiro teste rápido para ver se o termo do meio é pelo menos o valor correto. Se não, então provavelmente você está com o errado c fatores escolhidos. Vamos testar a resposta:

(3x + 8) (x - 1)
Por multiplicação, obtemos:

3x - 3x + 8x - 8
Simplifique esta expressão adicionando os termos semelhantes (-3x) e (8x), e obteremos:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Agora sabemos que consideramos os fatores errados:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Troque suas escolhas, se necessário. Em nosso exemplo, vamos tentar 2 e 4, em vez de 1 e 8:

(3x + 2) (x - 4)
Agora nosso c termo igual a -8, mas o produto externo / interno de (3x * -4) e (2 * x) é -12x e 2x, o que não é o correto b termo ou + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Inverta a ordem, se necessário. Vamos tentar inverter 2 e 4:

(3x + 4) (x - 2)
Agora nosso c term (4 * 2 = 8) e ainda está bem, mas os produtos externos / internos são -6x e 4x. Quando combinamos esses, obtemos:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Agora estamos chegando bem perto de 2x onde queremos estar, mas o sinal ainda não está correto.
Verifique novamente seus personagens, se necessário. Mantemos esta ordem, mas a trocamos com o sinal de menos:

(3x - 4) (x + 2)
Agora o c prazo ainda está bem, e os produtos externos / internos agora são (6x) e (-4x). Porque:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Agora vemos o 2x positivo de volta do problema original. Esses devem ser os fatores certos.

Método 2 de 6: Decomposição

Este método fornece todos os fatores possíveis dele uma e c termos e os usa para descobrir quais fatores estão corretos. Se os números forem muito grandes ou se a suposição de outros métodos demorar muito, use este método. Um exemplo:

6x + 13x + 6

Multiplique o uma termo com o c prazo. Neste exemplo, uma é 6 e c também é 6.

6 * 6 = 36
Encontre o b termo por fatoração e teste. Estamos procurando 2 números que são fatores de uma * c , e juntos o b termo (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Substitua os dois números que você obtém em sua equação como a soma dos b prazo. Vamos k e h para representar os 2 números que temos, 4 e 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Fatore o polinômio por agrupamento. Organize a equação para que você possa separar o maior divisor comum dos primeiros dois termos e dos dois últimos termos. Ambos os fatores devem ser iguais. Some os GGDs e coloque-os entre colchetes, ao lado dos fatores; como resultado, você obtém os dois fatores:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Método 3 de 6: Triple Play

Semelhante ao método de decomposição. O método "triple play" examina os possíveis fatores do produto de uma e c e usá-lo para descobrir o que b devemos ser. Veja a equação como exemplo:

8x + 10x + 2

Multiplique o uma termo com o c prazo. Tal como acontece com o método de decomposição, usamos isso para determinar os candidatos para o b prazo. Neste exemplo: uma é 8 e c é 2.

8 * 2 = 16
Encontre os 2 números com este número como o produto e com uma soma igual ao b prazo. Esta etapa é igual ao método de decomposição - testamos candidatos para as constantes. O produto da uma e c termos é 16, e o c o termo é 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Pegue esses 2 números e substitua-os na fórmula do "jogo triplo". Pegue os 2 números da etapa anterior - vamos pegá-los h e k chamá-los - e colocá-los na expressão:

((ax + h) (ax + k)) / a

Com isso, obtemos:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Veja qual dos dois termos no denominador pode ser totalmente dividido por uma. Neste exemplo, estamos analisando se (8x + 8) ou (8x + 2) pode ser dividido por 8. (8x + 8) é divisível por 8, então dividimos este termo por uma e deixamos o outro intacto.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
O termo que mantivemos aqui é aquele que permanece após a divisão pelo uma termo: (x + 1)
Pegue o máximo divisor comum (mdc) de um ou de ambos os termos, se possível. Neste exemplo, vemos que o segundo termo tem mdc de 2, porque 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combine esta resposta com o termo que você descobriu na etapa anterior. Esses são os fatores de sua comparação.

2 (x + 1) (4x + 1)

Método 4 de 6: a diferença entre dois quadrados

Você pode reconhecer alguns coeficientes em um polinômio como "quadrados" ou também como o produto de 2 números idênticos. Ao descobrir quais são os quadrados, você pode fatorar os polinômios muito mais rápido. Pegamos a equação:

27x - 12 = 0

Remova o mdc da equação, se possível. Neste caso, vemos que 27 e 12 são divisíveis por 3, portanto, podemos colocá-los separadamente:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Determine se os coeficientes de sua equação são quadrados. Para usar este método, é necessário determinar a raiz dos termos. (Observe que omitimos os sinais de menos - como esses números são quadrados, eles podem ser o produto de 2 números negativos)

9x = 3x * 3x e 4 = 2 * 2
Usando a raiz quadrada que você determinou, agora você pode escrever os fatores. Nós pegamos o uma e c valores da etapa anterior: uma = 9 e c = 4, então as raízes disso são: - √uma = 3 e √c = 2. Estes são os coeficientes das expressões fatoradas:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Método 5 de 6: a fórmula ABC

Se nada parece funcionar e você não consegue resolver a equação, use a fórmula abc. Veja o seguinte exemplo:

x + 4x + 1 = 0

Insira os valores correspondentes na fórmula abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Agora temos a expressão:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Resolva para x. Agora você deve obter 2 valores para x. Estes são:

x = -2 + √ (3) ou x = -2 - √ (3)
Use os valores de x para determinar os fatores. Insira os valores x obtidos nas duas equações como constantes. Esses são seus fatores. Se respondermos os dois h e k escrevemos os dois fatores da seguinte forma:

(x - h) (x - k)
Nesse caso, a resposta final é:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Método 6 de 6: usando uma calculadora

Se for permitido (ou obrigatório) usar uma calculadora gráfica, isso torna a fatoração muito mais fácil, especialmente para exames e exames. As instruções a seguir são para uma calculadora gráfica TI. Usamos a equação do exemplo:

y = x - x - 2

Insira a equação em sua calculadora. Você usará o equation solver, também conhecido como tela [Y =].
Represente graficamente a equação com a calculadora. Depois de inserir a equação, pressione [GRÁFICO] - agora você deve ver uma linha curva, uma parábola como uma representação gráfica de sua equação (e é uma parábola porque estamos lidando com um polinômio).
Encontre onde a parábola se cruza com o eixo x. Uma vez que uma equação quadrática é tradicionalmente escrita como ax + bx + c = 0, estes são os dois valores de x que tornam a equação igual a zero:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Se você não puder ver onde a parábola se cruza com o eixo x, pressione [2nd] e, em seguida, [TRACE]. Pressione [2] ou selecione "zero". Mova o cursor para a esquerda de um cruzamento e pressione [ENTER]. Mova o cursor para a direita de um cruzamento e pressione [ENTER]. Mova o cursor o mais próximo possível do ponto de interseção e pressione [ENTER]. A calculadora indicará o valor x. Faça isso também para a outra interseção.
Insira os valores x obtidos nas duas expressões fatoradas. Se tomarmos os dois valores de x h e k como um termo, a expressão que usamos é assim:

(x - h) (x - k) = 0
Então, nossos dois fatores tornam-se:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Pontas

Se você fatorou o polinômio com a fórmula abc e sua resposta contém raízes, poderá converter os valores x em frações para verificá-los.
Se um termo não tiver coeficiente antes dele, então o coeficiente é igual a 1, por exemplo, x = 1x.
Se você tiver uma calculadora TI-84, existe um programa chamado SOLVER que pode resolver uma equação quadrática para você. Ele também resolve polinômios de alto grau.
Depois de muita prática, você será capaz de resolver polinômios de cor. Mas para estar do lado seguro, é melhor sempre escrevê-los por escrito.
Se um termo não existir, o coeficiente é zero. Então, pode ser útil reescrever a equação. Por exemplo. x + 6 = x + 0x + 6.

Avisos

Se você está aprendendo esse conceito na aula de matemática, preste atenção ao que o professor está explicando e não use apenas o seu método favorito. Pode ser solicitado que você use um método específico para um teste ou calculadoras gráficas podem não ser permitidas.