Calcular raízes cúbicas manualmente

Vídeo: Isaac Asimov - GUIA DE LA BIBLIA. ANTIGUO TESTAMENTO (1/2) - Audiolibro

Contente

Dar um passo
Parte 1 de 3: Trabalhando em uma tarefa de exemplo
Parte 2 de 3: Encontrando a raiz cúbica por estimativa repetida
Pontas
Avisos
Necessidades

Usando uma calculadora, calcular a raiz cúbica de qualquer número não é mais do que pressionar algumas teclas. Mas talvez você não tenha uma calculadora ou queira impressionar seus amigos com sua habilidade de descobrir uma raiz cúbica à mão livre. Existe um método que parece um pouco difícil à primeira vista, mas funciona de forma muito simples com um pouco de prática. É útil ter algum conhecimento prático no campo de habilidades aritméticas e cálculo de números cúbicos.

Dar um passo

Parte 1 de 3: Trabalhando em uma tarefa de exemplo

Elabore o problema. Resolver a raiz cúbica de um número parecerá resolver uma longa divisão, com algumas diferenças aqui e ali. O primeiro passo é escrever a declaração corretamente.
- Anote o número para o qual deseja determinar a raiz cúbica. Escreva os números em grupos de três, com a vírgula como ponto de partida. Neste exemplo, você vai determinar a raiz cúbica de 10. Escreva como 10.000000. Os zeros são necessários para a precisão da resposta.
- Desenhe uma raiz quadrada cúbica sobre o número. Isso tem o mesmo propósito que a linha na divisão longa. A única diferença é a forma do símbolo.
- Coloque uma vírgula acima da linha, diretamente acima da vírgula no número original.
Conheça os cubos das unidades. Você vai usar isso em seus cálculos. Diz respeito aos seguintes terceiros poderes:
- 13=1∗1∗1=1{ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Determine o primeiro dígito da sua resposta. Selecione um número que, para o cubo, dê o maior resultado possível, que seja menor que o primeiro conjunto de três números.
  - Neste exemplo, o primeiro conjunto de três números multiplicados juntos é igual a 10. Encontre o maior cubo que seja menor que 10. Isso é 8 e sua raiz cúbica é 2.
  - Escreva o número 2 acima da raiz quadrada, acima do número 10. Escreva o valor de 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Faça a configuração para o próximo dígito. Escreva o próximo grupo de três números no resto e desenhe uma linha vertical curta à esquerda do número resultante. Este será o número que usaremos para determinar o próximo dígito na solução de sua raiz cúbica. Neste exemplo, isso se torna 2.000, que é criado a partir dos 2 restantes da soma de subtração anterior, com o grupo de três zeros que você anotou.
    - À esquerda da linha vertical, escreva a solução do próximo divisor, como a soma de três números separados. Indique os espaços vazios para esses números, sublinhando três pontos em branco com sinais de mais por baixo.
  - Encontre o início do próximo divisor. Para a primeira parte do divisor, escreva trezentas vezes o quadrado de tudo o que estiver acima do sinal da raiz quadrada. Nesse caso, é 2; 2 ^ 2 é 4 e 4 * 300 = 1200. Então escreva seu 1200 no primeiro espaço em branco. O divisor para esta etapa da solução torna-se 1200, mais alguma coisa que você calculará em um momento.
  - Encontre o próximo número em sua raiz cúbica. Encontre o próximo dígito de sua solução selecionando o que você pode multiplicar pelo divisor (1200 e algo mais) e, em seguida, subtraia do restante de 2000. Isso só pode ser 1, porque 2 vezes 1200 é igual a 2400, que é maior que 2000. Escreva o número 1 no próximo espaço acima do sinal da raiz quadrada.
  - Encontre o resto do divisor. O divisor nesta etapa da solução consiste em três partes. A primeira parte é o 1200 que você já tem. Agora você precisará adicionar mais dois termos para completar o divisor.
    - Agora calcule 3 vezes 10 vezes cada um dos dois dígitos em sua solução acima do sinal da raiz quadrada. Para este exercício simples, isso significa 3 * 10 * 2 * 1, que é igual a 60. Some isso aos 1200 que você já tinha e obterá 1260.
    - Finalmente, some o quadrado do último dígito. Neste exemplo, é 1; e 1 ^ 2 ainda é 1. Portanto, o divisor total é 1200 + 60 + 1, ou 1261. Escreva à esquerda da linha vertical.
  - Multiplique e subtraia. Arredonde esta parte da solução multiplicando o último dígito da sua solução - neste caso, o número 1 - pelo divisor que você acabou de calcular (1261). 1 * 1261 = 1261. Escreva abaixo de 2000 e subtraia 1261 para obter 739.
  - Decida ir mais longe para obter uma resposta mais precisa. Após concluir a subtração de cada etapa, você deve verificar se sua resposta é exata o suficiente. Para a raiz cúbica de 10, após a primeira soma negativa, a raiz cúbica era de apenas 2, o que não é realmente exato. Agora, após o segundo turno, a solução é 2.1.
    - Você pode verificar a precisão desse resultado usando o cubo: 2.1 * 2.1 * 2.1. O resultado é 9.261.
    - Se você acha que o resultado é exato o suficiente, você pode parar. Se você quiser uma resposta mais precisa, terá que passar por outra rodada.
  - Determine o divisor para a próxima rodada. Neste caso, para mais prática e uma resposta mais precisa, repita as etapas para outra rodada, da seguinte maneira:
    - Derrube o próximo grupo de três números. Nesse caso, são três zeros, que vêm depois dos 739 restantes para formar 739.000.
    - Comece o divisor com 300 vezes o quadrado do número atualmente acima do sinal da raiz quadrada. Isso é 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Multiplique o divisor pelo resultado. Depois de calcular o divisor nesta próxima rodada e expandir sua solução com mais um dígito, proceda da seguinte forma:
      - Multiplique o divisor pelo último dígito de sua solução. 135.475 * 5 = 677.375.
      - Subtrair. 739.000-677.375 = 61.625.
      - Considere se a solução 2.15 é exata o suficiente. Calcule o cubo dele e você obterá ${ displaystyle 2,15 * 2,15 * 2,15 = 9,94}$ Escreva sua resposta final. O resultado acima da raiz quadrada é a raiz cúbica, com uma precisão de três dígitos significativos. Neste exemplo, a raiz cúbica de 10 é igual a 2,15. Verifique calculando 2,15 ^ 3 = 9,94, que pode ser arredondado para 10. Se precisar de uma resposta mais precisa, continue fazendo isso até ficar satisfeito.

Parte 2 de 3: Encontrando a raiz cúbica por estimativa repetida

Use números cúbicos para definir os limites superior e inferior. Quando perguntado sobre a raiz cúbica de um determinado número, comece escolhendo um cubo que seja o mais próximo possível dele, sem ser maior que seu número de destino.
- Por exemplo, se você deseja encontrar a raiz cúbica de 600, lembre-se (ou use um cubo cúbico) que 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Faça uma estimativa do próximo dígito. Você exclui o primeiro dígito por meio do seu conhecimento de certos números cúbicos. Para o próximo dígito, estime um número entre 0 e 9 com base em onde seu número de destino fica entre os dois números limite.
  - No problema do exemplo, 600 (seu número-alvo) fica na metade do caminho entre os números-limite 512 e 729. Portanto, você escolhe 5 como seu próximo número.
- Teste sua estimativa determinando o cubo dela. Experimente multiplicar a estimativa com a qual está trabalhando atualmente para descobrir o quão perto você está do número alvo.
  - Neste exemplo, você está multiplicando 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8,5 * 8,5 * 8,5 = 614,1.}Ajuste sua estimativa conforme necessário. Depois de aumentar para o cubo de sua estimativa mais recente, compare o resultado com seu número de destino. Se o resultado for maior do que a meta, sua estimativa deve ser menor. Se o resultado for menor que a meta, você deve ajustá-lo para cima até atingir a meta.
    - Por exemplo, nesta declaração 8,53{ displaystyle 8,5 ^ {3}}Faça uma estimativa do próximo dígito para obter uma resposta mais precisa. Continue este procedimento de estimar números de 0 a 9 até que sua resposta seja tão precisa quanto você deseja. Antes de cada rodada de estimativa, você começa verificando a posição de seu último cálculo entre os números de limite.
      - Neste exercício de exemplo, sua última rodada de cálculos mostra que ${ displaystyle 8,4 ^ {3} = 592,7}$ Continue estimando e ajustando. Faça isso quantas vezes forem necessárias, aumente sua estimativa para a potência cúbica e veja como ela se compara ao número alvo. Procure os números que estão logo abaixo ou logo acima do número de destino.
        Para este exercício de exemplo, você começará observando que ${ displaystyle 8,44 * 8,44 * 8,44 = 601,2}$ Continue até atingir a precisão desejada. Continue estimando, comparando e reestimando pelo tempo necessário até que sua solução seja tão precisa quanto você deseja. Observe que, com cada decimal, seus números-alvo ficam cada vez mais próximos do número real.
        Para a raiz cúbica do exemplo 600, assumindo dois números decimais, você está a menos de 1 de distância do número de destino em 8,43. Se você continuar com três casas decimais, verá que ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599,93}$ Reveja o binômio de Newton. Para entender por que esse algoritmo funciona para determinar as raízes do cubo, primeiro você deve pensar em como o cubo se parece como binomial. Você provavelmente aprendeu isso na matemática do ensino médio (e, como a maioria das pessoas, provavelmente se esqueceu disso rapidamente). Selecione duas variáveis ${ displaystyle A}$ Escreva o binômio na forma cúbica. Agora estamos trabalhando para trás, primeiro determinando o cubo e, em seguida, examinando por que a solução de raiz do cubo funciona. Precisamos dos valores de ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Conheça o significado de longa divisão. Observe que o método da raiz cúbica funciona como uma divisão longa. Na divisão longa, você vê que dois fatores multiplicados juntos fornecem o número com o qual você começou. Neste cálculo, o número que você está procurando (o número que eventualmente aparece acima da raiz quadrada) é a raiz cúbica. Isso significa que é igual ao termo (10A + B). O A e o B reais agora são irrelevantes, contanto que você entenda a relação com a resposta.
        Veja a versão estendida. Quando você olha o binômio de Newton, pode ver porque o algoritmo da raiz cúbica está correto. Veja como o divisor em cada etapa do algoritmo é igual à soma dos quatro termos que você precisa calcular e adicionar. Esses termos surgem da seguinte forma:
        O primeiro termo contém um múltiplo de 1000. Você primeiro escolhe um número que pode ser elevado ao cubo e ainda permanecer dentro do intervalo da divisão longa como o primeiro número. Isso dá o termo 1000A ^ 3 no binômio.
        O segundo termo do binômio de Newton tem 300 como coeficiente. (Isso vem de ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ A precisão do relógio aumenta. Ao trabalhar em uma divisão longa, cada etapa que você completa fornece grande precisão à sua resposta. Por exemplo, o problema de exemplo trabalhado neste artigo é para determinar a raiz cúbica de 10. Na primeira etapa, a solução é 2, porque ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ chega perto, mas é inferior a 10. Na verdade, ele mantém ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . Após a segunda rodada, sua solução é 2.1. Depois de resolver isso, você obterá ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ , que está muito mais próximo do resultado desejado (10). Após a terceira rodada, você tem 2,15, o que lhe dá ${ displaystyle 2,15 ^ {3} = 9,94}$ . Continue trabalhando em grupos de três números e você obterá uma resposta tão precisa quanto deseja.

Pontas

Como qualquer outra coisa, suas habilidades matemáticas vão melhorar com a prática. Quanto mais você pratica, melhor será capaz de fazer esses tipos de cálculos.