Encontre o inverso da matriz 3x3 - Dicas

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A inversão é freqüentemente usada em cálculos para simplificar problemas problemáticos de outras maneiras. Por exemplo, é mais fácil multiplicar pelo inverso de uma fração do que dividi-la diretamente por esse número. Este é o inverso. Da mesma forma, como não há sinais de fração para a matriz, você terá que multiplicar sua matriz inversa. Calcular a matriz inversa de uma matriz 3x3 pode ser muito tedioso, mas é um problema que vale a pena considerar. Você também pode usar uma calculadora gráfica avançada para fazer isso.

Passos

Método 1 de 3: Crie uma matriz adicional para encontrar a matriz inversa

Verifique o determinante da matriz. O primeiro passo: encontre o determinante da matriz. Se o determinante for 0, está feito: esta matriz não é reversível. O determinante de uma matriz M pode ser denotado det (M).
- Para encontrar o inverso de uma matriz 3x3, você deve primeiro calcular seu determinante.
- Para revisar como encontrar o determinante de uma matriz, consulte o artigo Encontrando o determinante da matriz 3x3.
Transposição da matriz original. Transposição significa refletir a matriz na diagonal principal, ou seja, trocar o elemento (i, j) pelo elemento (j, i). Ao transpor elementos de uma matriz, a diagonal principal (indo do canto superior esquerdo ao canto inferior direito) permanece constante.
- Outra maneira de entender a transposição é que você reescreverá a matriz de forma que a primeira linha se torne a primeira coluna, a linha do meio se torne a coluna do meio e a terceira linha se torne a terceira coluna. Observe os elementos de cor na ilustração acima e observe a nova posição dos números.
Encontre o determinante de cada submatriz 2x2. Todos os elementos da nova matriz de deslocamento 3x3 estão ligados a uma 'sub' matriz 2x2 correspondente. Para encontrar a submatriz de cada elemento, primeiro destaque a linha e a coluna do primeiro elemento. Todos os 5 elementos serão destacados. Os quatro elementos restantes formam a submatriz.
- No exemplo acima, se você quiser encontrar uma submatriz do elemento na linha dois, coluna um, você realça cinco partes de palavras na segunda linha e na primeira coluna. Os quatro elementos restantes são a submatriz correspondente.
- Encontre o determinante de cada submatriz multiplicando diagonalmente e subtraindo dois produtos um do outro, conforme mostrado na figura acima.
- Leia mais para aprender mais sobre submatrizes e seus usos.
Faça uma matriz de subseções algébricas. Coloque o resultado obtido na etapa anterior em uma nova matriz composta de subseções algébricas, colocando cada determinante de submatriz na posição correspondente na matriz original. Assim, o determinante calculado a partir do elemento (1,1) da matriz original será colocado na posição (1,1). A seguir, você terá que alterar o sinal de substituição desta nova matriz de acordo com a tabela de referência mostrada na ilustração acima.
- Ao determinar o sinal, a marca da primeira molécula do líder é mantida. O sinal do segundo elemento é invertido. O sinal do terceiro elemento é preservado. Continue assim para o resto da matriz. Observe que o sinal (+) ou (-) no gráfico de referência não indica que, até o final, o elemento terá um sinal positivo ou negativo. Eles apenas mostram que os elementos serão mantidos intactos (+) ou alterados com (-).
- Consulte os fundamentos da matriz para saber mais sobre os apêndices algébricos.
- O resultado final que obtemos nesta etapa é a matriz complementar da matriz original. Às vezes também é chamado de matriz conjugada e é denotado como Adj (M).
Divida todos os elementos da matriz do complemento pelo determinante. Use o determinante da matriz M que você calculou na primeira etapa (para verificar se a matriz é reversível). Agora divida cada elemento da matriz por este valor. Coloque o quociente de cada divisão na posição do elemento original e obteremos a matriz inversa da matriz original.
- A matriz de amostra apresentada na ilustração tem determinante de 1. Portanto, ao dividir cada elemento da matriz complementar pelo determinante, obtemos a si mesmo (nem sempre você terá essa sorte). .
- Em vez de dividir, alguma documentação demonstra esta etapa como a multiplicação de cada elemento de M por 1 / det (M). Matematicamente, eles são equivalentes.
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Método 2 de 3: Diminua a linha linear para encontrar a matriz inversa

Adicione a matriz de unidade à matriz original. Escreva a matriz base M, desenhe uma linha vertical à direita dessa matriz e, em seguida, escreva a matriz unitária à direita dessa linha. Neste ponto, temos uma matriz com três linhas e seis colunas.
- Lembre-se que a matriz identidade é uma matriz especial com todos os elementos na diagonal principal, indo do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, igual a 1 e todos os elementos nas demais posições iguais a zero.
Execute uma redução linear da linha. O objetivo aqui é criar a matriz de unidade na parte esquerda da matriz recém-expandida. Ao realizar as etapas de redução de linha à esquerda, você deve fazer a parte correspondente à direita - a parte que é sua matriz de unidade.
- Lembre-se de que a redução de linha é realizada como uma combinação de multiplicação escalar e adição ou subtração de linha, a fim de isolar elementos individuais da matriz.
Continue até que a matriz unitária seja formada. Continue a redução linear até que a matriz de identidade apareça (elementos na diagonal são iguais a 1, outros elementos são iguais a 0) na parte esquerda da matriz expandida. Uma vez que esta etapa é alcançada, a parte direita do divisor vertical é a matriz inversa da matriz original.
Reescreva a matriz inversa. Duplique os elementos atualmente na parte direita do divisor vertical e essa é sua matriz inversa. propaganda

Método 3 de 3: Encontre a matriz inversa com a calculadora de bolso

Escolha uma calculadora que possa resolver matrizes. Uma calculadora simples de quatro funções não será capaz de encontrar a matriz inversa diretamente para você. No entanto, devido à repetição matemática, uma calculadora gráfica avançada, como a Texas Instruments TI-83 ou TI-86, pode reduzir muito o trabalho que você precisa fazer.
Insira a matriz na calculadora. Primeiro, entre na função Matrix de sua calculadora pressionando a tecla Matrix, se estiver disponível em seu dispositivo. Com a máquina Texas Instruments, você terá que pressionar 2 Matrix.
Selecione o submenu Editar. Para acessar este submenu, pode ser necessário usar os botões de seta ou selecionar as teclas de função apropriadas localizadas na linha superior do teclado do computador, dependendo de seu design.
Escolha um nome para sua matriz. A maioria das calculadoras de bolso são equipadas para trabalhar com 3 a 10 matrizes, letras nomeadas, de A a J. Normalmente, vamos começar com. Pressione a tecla Enter para confirmar a seleção do nome.
Insira o tamanho da matriz. Este artigo enfoca matrizes 3x3. No entanto, calculadoras de bolso podem lidar com matrizes maiores. Insira o número de linhas, pressione Enter, a seguir digite o número da coluna e pressione Enter.
Insira cada elemento da matriz. Uma matriz será exibida na tela do computador. Se você já trabalhou com a função de matriz antes, a matriz com a qual trabalhou antes aparecerá na tela. O cursor marcará o primeiro elemento da matriz. Insira o valor da matriz que deseja resolver e pressione Enter. O cursor se moverá automaticamente para o próximo elemento, substituindo quaisquer valores anteriores.
- Se você deseja inserir números negativos, use o botão negativo (-) da calculadora, não a tecla menos. A função de matriz não será lida corretamente.
- Se necessário, você pode usar as teclas de seta da calculadora para mover-se pela matriz.
Sai da função de matriz. Depois de inserir todo o valor da matriz, pressione a tecla Sair - Sair (ou 2 Sair, se necessário). Graças a isso, você sai da função Matrix e retorna à tela principal da calculadora.
Use a tecla inversa para encontrar a matriz inversa. Primeiro, reabra a função Matrix e use o botão Nomes para selecionar o nome da matriz que você usou para dar a sua matriz (talvez seja). A seguir, pressione a tecla inversa da calculadora. Dependendo do dispositivo, pode ser necessário usar o botão 2. A tela de exibição é exibida. Pressione Enter e a matriz inversa aparecerá na tela.
- Não use o botão ^ em seu computador ao tentar inserir A ^ -1 com cliques individuais. Os computadores não entenderão essa matemática.
- Se você receber uma mensagem de erro ao pressionar a tecla inversa, é mais provável que sua matriz principal não seja reversível. Talvez você deva voltar e ser qualitativo para determinar se essa é a causa do erro.
Converta a matriz inversa na resposta correta. O primeiro resultado retornado pelo computador é representado em decimal. Essa não é necessariamente a resposta "correta" para a maioria dos propósitos. Você deve converter esta resposta decimal em uma fração, se necessário (se tiver sorte, todos os seus resultados serão inteiros. No entanto, é muito raro).
- Talvez sua calculadora tenha uma função que converta automaticamente decimais em frações. Por exemplo, ao usar a TI-86, você pode ir para a função Math, selecionar Misc e Frac e pressionar Enter. Os decimais serão representados automaticamente como frações.
A maioria das calculadoras gráficas tem colchetes (para TI-84, ou seja, 2º + xe 2º + -) que permitem inserir uma matriz sem usar uma função de matriz. Nota: Uma calculadora pode não formatar uma matriz até que a tecla enter / equal seja usada (o que significa que tudo estará na mesma linha e não muito bom). propaganda

Adendo

Você pode seguir estas etapas para encontrar o inverso de uma matriz que não contém apenas números, mas também variáveis, incógnitas ou mesmo expressões algébricas.
Anote todas as etapas porque encontrar o inverso de uma matriz 3x3 apenas fazendo matemática é extremamente difícil.
Existem programas de calculadora que ajudam a encontrar matrizes inversas, até e incluindo matrizes 30x30.
Independentemente do método usado, verifique a precisão do resultado multiplicando M por M. Você confirmará que M * M = M * M = I. Onde, I é a matriz unitária , é composto por 1 elemento localizado ao longo da diagonal principal e zeros em outro lugar. Se não obtiver esses resultados, você deve ter errado em algum lugar.